置き換えによる最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^4$ と $x^2$ の式は、$t=x^2$ の置きかえで $t$ の2次関数になる。

置きかえで一番間違えやすいのは、$t$ の範囲だ。$x$ の範囲の両端をそのまま2乗してはいけない。

$t=x^2$ のグラフを思い浮かべる。$-1\le x\le 3$ の間に $x=0$ が入っているから、$t$ は $0$ まで下がる。最大は $x=3$ の $9$。だから $0\le t\le 9$。「新しい変数の範囲はグラフで求める」を合言葉にする。

$x^2=t$ と置きかえる。$x^4=(x^2{)}^2=t^2$ なので

$$y=(x^2{)}^2-8x^2+5=t^2-8t+5$$

次に $t$ の範囲を求める。$t=x^2$ で、$x$ が $-1\le x\le 3$ を動くとき、$x^2$ は $x=0$ で最小0、$x=3$ で最大9(端の $x=-1$ では $x^2=1$)。だから

$$0\le t\le 9$$

$t$ の2次関数を平方完成する。

$$y=t^2-8t+5=(t-4{)}^2-16+5=(t-4{)}^2-11$$

頂点 $(4,-11)$、下に凸。頂点 $t=4$ は範囲 $0\le t\le 9$ の中なので、$t=4$ で最小値 $-11$。最大は端。

$$t=0\text{ のとき }y=5,t=9\text{ のとき }y=81-72+5=14$$

大きいのは $t=9$ の14。よって最大値14、最小値 $-11$。$t=4$ は $x^2=4$ で $x=2$(範囲内)、$t=9$ は $x^2=9$ で $x=3$。

まとめ:置きかえのカギは『$t$ の範囲を、$x$ の範囲から正しく求める』こと。$t=x^2$ は $x=0$ で0になるので、$0\le t\le 9$ となる(単純に $x$ の端を2乗するだけではない)。

発展 — 一歩先へ。 置きかえたら新変数の範囲を必ず求め直す。この作法は、この先の置きかえ全部($t=\sin \theta$、$t=2^x$、$t=x+\frac{1}{x}$ など)で毎回の関門になる。今日の「両端の2乗ではない」という失敗例を、その原点として覚えておくとよい。

2つの変数 $x$ と $t$ の2段のグラフを行き来する感覚は、数学IIIの合成関数の考え方の入り口でもある。

別解

式を先に「距離の形」に直してから読む方法もある。

$y=x^4-8x^2+5=(x^2-4{)}^2-11$ と平方完成できる($x^2$ をひとかたまりに見た平方完成だ)。

この形は「$x^2$ が $4$ からどれだけ離れているか」の2乗、と読める。

• $y$ が最小になるのは $x^2=4$ のとき。範囲内の $x=2$ で実現でき、最小値は $-11$。
• $y$ が最大になるのは、$x^2$ が $4$ から一番遠いとき。$x^2$ のとりうる範囲は $0$ から $9$ で、$4$ からの距離は $9$ side が $5$、$0$ side が $4$。遠いのは $x^2=9$、つまり $x=3$ で、最大値は $5^2-11=14$。

「$4$ からの遠さ比べ」という1つの物差しで最大も最小も決まる。置きかえの2次関数と同じ結論だが、風景として覚えやすい。