2次関数の合成と方程式の実数解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $f(f(x))=x$ は4次方程式。正面から解くのは重い。

ここで構造に気づきたい。$f(x)=x$ を満たす $x$(不動点)は、2回写しても動かない。つまり自動的に $f(f(x))=x$ を満たす。すると $f(f(x))-x$ は $f(x)-x$ を因数にもち、2つの2次式の積に分かれる。

あとは、それぞれの判別式と、共通解の排除で条件を出すだけだ。

① 因数分解する。 $f(x)-x=x^2-x+c$。実際に割ると(または展開して確かめると)

$$f(f(x))-x=(x^2-x+c)(x^2+x+c+1)$$

② 2つの2次式が実数解をもつ条件。 相異なる4実数解 ⟺ 各2次式が相異なる実数解をもち、かつ共通解をもたない。

• $x^2-x+c=0$: 判別式 $1-4c>0⟺c<\frac{1}{4}$
• $x^2+x+c+1=0$: 判別式 $1-4(c+1)=-3-4c>0⟺c<-\frac{3}{4}$

③ 共通解を排除する。 2式を引くと $-2x-1=0$。共通解の候補は $x=-\frac{1}{2}$ だけだ。$x^2-x+c=0$ に代入すると $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+c=c+\frac{3}{4}=0$。つまり $c=-\frac{3}{4}$ のときだけ共通解をもつ。$c<-\frac{3}{4}$ なら共通解はない。

以上より、求める範囲は $c<-\frac{3}{4}$。

まとめ: 「不動点は周期2の点でもある」から $f(x)-x$ が因数に出る。ここが急所だ。4次を2つの2次に割れば、判別式2本と共通解の排除で条件が決まる。厳しいほうの $c<-\frac{3}{4}$ が答えを支配する。

発展 — 一歩先へ。 3回写して戻る点($f(f(f(x)))=x$)は8次方程式の世界になる。そこから先は「周期点がどう増えていくか」という力学系の問いだ。$x^2+c$ という単純な式が、$c$ しだいで極めて複雑な軌道(カオス)を生むことが知られている。本問はその入り口の、いちばん静かな部分である。

別解

縦の放物線と横の放物線で見る(図形ルート)。 $y=f(x)$ のグラフと、それを直線 $y=x$ で折り返した曲線 $x=f(y)$(横向きの放物線)を重ねてみる。

実は、$f(f(x))=x$ の実数解は、この2曲線の交点の $x$ 座標と一致する。$y=f(x)$ かつ $x=f(y)$ なら $f(f(x))=f(y)=x$ となるからだ(逆に $f(f(x))=x$ なら、$y=f(x)$ とおけば2式が立つ)。

交点を計算しよう。2式 $y=x^2+c,x=y^2+c$ を引き算すると

$$y-x=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

整理して $(x-y)(x+y+1)=0$。つまり交点は、対角線 $y=x$ 上(不動点、$x^2-x+c=0$)にあるか、直線 $x+y=-1$ 上(2回で入れ替わるペア、代入して $x^2+x+c+1=0$)にある。

本解の2つの2次式が、「対角線上の交点」と「対角線をはさんで対になる交点」という図形の言葉に翻訳された。相異なる4解の条件は、2つの放物線が4回交わる条件そのものだ。