最小値の条件から係数を決定する(場合分けと吟味)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これは、最小値「が」先に与えられて係数を逆算する逆問題だ。まず順問題(最小値を求める)の場合分けを、そのまま流用する。

軸の位置で $3$ つに分け、各場合で「最小値 $=-4$」という方程式を立てて $a$ を解く。

ただし、解いて終わりではない。出した $a$ が、その場合の前提範囲に本当に入っているかを吟味する。ここまでがワンセットだ。逆問題は吟味が命になる。

平方完成する。

$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+4a$$

頂点 $(a,-a^2+4a)$、軸 $x=a$、下に凸。定義域 $-1\le x\le 1$ での最小値が $-4$ になる $a$ を、軸の位置で場合分けして求める。

② 軸が範囲内($-1\le a\le 1$): 頂点で最小。

$$-a^2+4a=-4\text{すなわち}{a}^2-4a-4=0$$

解の公式で $a=2\pm 2\sqrt{2}$。数値で見ると

$$2-2\sqrt{2}=-0.82\dots ,2+2\sqrt{2}=4.82\dots$$

条件 $-1\le a\le 1$ に合うのは $a=2-2\sqrt{2}$($=-0.82\dots$)だけ。$2+2\sqrt{2}$ は範囲外なので不適。

③ 軸が右外($a>1$): 最小は右端 $x=1$。

$$f(1)=1-2a+4a=2a+1$$

これが $-4$ なら $2a=-5$、$a=-\frac{5}{2}$。でもこれは $a>1$ を満たさないので不適。

① 軸が左外($a<-1$): 最小は左端 $x=-1$。

$$f(-1)=1+2a+4a=6a+1$$

これが $-4$ なら $6a=-5$、$a=-\frac{5}{6}$。でもこれは $a<-1$ を満たさないので不適。

結局、条件に合うのは②の $a=2-2\sqrt{2}$ だけ。よって

$$a=2-2\sqrt{2}$$

まとめ:係数決定は『各場合で方程式を解く → 求めた $a$ がその場合の条件に合うか吟味』が命。合わない解を除くのを忘れると、不適な答えまで書いてしまう。

発展 — 一歩先へ。 この問題で $2+2\sqrt{2}$ を捨てたのは、偶然のミス防止ではない。場合分けで定義された関数を逆に解くと、必ず「幽霊解」が混じるからだ。

頂点の高さ $-a^2+4a=-4$ という式は、$a$ が定義域内($-1\le a\le 1$)にあるときだけ「最小値」を表す。この前提を外して式だけ解くと、前提の外にいる $2+2\sqrt{2}$ まで出てくる。これは最小値ではなく、ただ頂点の高さがたまたま $-4$ になる点にすぎない。

同じ構造は、絶対値の方程式や、両辺を $2$ 乗して解く問題での無縁解と同じだ。式変形や場合分けは解の候補を広げるので、最後に必ず元の前提(その場合の範囲・元の等式)に照らして検算し、幽霊を振り落とす。逆問題での吟味は、この一般原則の一例になっている。

別解

別解 — 本命の頂点ケースを先に解き、端は評価で瞬殺(得意な人向けの視点)。 $3$ 場合を平等に解く前に、最小値 $-4$ という深い値に届きうるのはどの場合かを見積もる。

軸が右外($a>1$)なら最小は右端で $f(1)=1+2a$。$a>1$ だから $f(1)>3$。軸が左外($a<-1$)なら最小は左端で $f(-1)=1+6a$。$a<-1$ だから $f(-1)<-5$。どちらもその範囲では $-4$ になりえない。範囲の端の値を入れて評価するだけで、$2$ つの場合が消える。

残るは軸が定義域内($-1\le a\le 1$)の場合だけ。頂点の高さは $-a^2+4a$ で、これが $-4$。

$$-a^2+4a=-4⟹a^2-4a-4=0⟹a=2\pm 2\sqrt{2}.$$

$2-2\sqrt{2}\approx -0.83$ は $-1\le a\le 1$ に入り、$2+2\sqrt{2}\approx 4.83$ は入らない。よって $a=2-2\sqrt{2}$。

$3$ 場合を機械的に解いて後で吟味する本解に対し、こちらは端の $2$ 場合を値域の評価だけで先に落とし、本命の $1$ 場合に絞る。本解と同じ $a=2-2\sqrt{2}$ に至る。