数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

定義域の端が動く場合の最小値

★★ 標準最大・最小場合分け定義域

問題

$a$ は正の定数とする。2次関数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ( $0 \leq x \leq a$ ) の最小値を求めよ。

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頂点は固定、右端 $a$ が動く。右端が頂点より手前ならまだ下り坂の途中=右端が最小、右端が頂点を過ぎたら頂点が最小。境目でつなぐ。

解答・解説

$f (x) = (x - 2)^{2} - 3$ (頂点 $(2, - 3)$ )固定。定義域は $0 \leq x \leq a$ で、右端 $a$ だけが動く( $a > 0$ )。

最小値は、頂点 $x = 2$ が定義域 $0 \leq x \leq a$ に入るかで変わる。 $a < 2$ (頂点が範囲の右外)なら右端 $x = a$ で最小、 $a \geq 2$ (頂点が範囲内)なら頂点で最小。2場合分け。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今度は関数が固定で、定義域の右端 $a$ だけが動く。窓が右へ広がっていくイメージだ。

窓が頂点 $x = 2$ に届くまでは、グラフは窓の中で下りの一方通行。最小は右端が担う。

窓が頂点を含んだ瞬間、最小の主役は頂点に交代し、それ以降は動かない。「主役交代の瞬間=窓の端が頂点に届く瞬間」。場合分けの境目 $a = 2$ は、ここから自動的に決まる。

公式定義域の端が動く:頂点が範囲に入るかで場合分け(下に凸)

平方完成する。

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2)^{2} - 4 + 1 = (x - 2)^{2} - 3$

頂点 $(2, - 3)$ 、下に凸で固定。定義域 $0 \leq x \leq a$ の右端 $a$ が動く( $a > 0$ )。頂点 $x = 2$ が範囲に入るかで場合分け。

① $0 < a < 2$ (頂点が範囲の右外)

[1] 0 < a < 2(例: a = 1)— 定義域が軸に届かず、右端 x = a で最小

頂点 $x = 2$ が定義域より右にあると、範囲内でグラフは右下がり。最小は右端 $x = a$ 。

$f (a) = a^{2} - 4 a + 1 (x = a)$

② $a \geq 2$ (頂点が範囲内)

[2] a ≥ 2(例: a = 3)— 定義域が軸を含み、頂点で最小

頂点 $x = 2$ が定義域 $0 \leq x \leq a$ に入るので、頂点で最小。

$f (2) = - 3 (x = 2)$

まとめると、 $0 < a < 2$ で最小値 $a^{2} - 4 a + 1$ 、 $a \geq 2$ で最小値 $- 3$ 。

まとめ:右端だけが動くので、場合分けは『頂点が範囲に入るか(= $a$ が2以上か)』の2つ。 $a$ が小さいと頂点まで届かず、右端で最小になる。

発展 — 一歩先へ。 「軸が動く型」と「端が動く型」は、動くものが違うだけで、判定はどちらも「頂点が窓に入っているか」だ。2つの型を1つの問いに圧縮して覚えておくと、初見の変種にも強くなる。

最大値の側も同時に聞かれたら、この問題では左端 $x = 0$ と右端 $x = a$ の遠さ比べが加わる。前問の「遠い者勝ち」がそのまま使える。

答

$0 < a < 2$ のとき最小値 $a^{2} - 4 a + 1$ ( $x = a$ )、 $a \geq 2$ のとき最小値 $- 3$ ( $x = 2$ )

答えを「最小値の $a$ の関数」として眺め直すと、場合分けの正しさを検算できる。

最小値を $m (a)$ と書くと、 $0 < a < 2$ では $m (a) = a^{2} - 4 a + 1$ 、 $a \geq 2$ では $m (a) = - 3$ 。

境目の $a = 2$ を左側の式に入れると $4 - 8 + 1 = - 3$ 。右側の値 $- 3$ とぴったりつながる。

つながるのは偶然ではない。窓を少しずつ広げても最小値は急に飛ばない(グラフの高さは連続だから)。だから、正しい場合分けなら境目で必ず値が一致する。

もし境目で値が食い違ったら、場合分けの境目か式のどちらかが間違っている。この検算は文字入りの最大最小すべてで使える。