面積の最大値(文章題)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題は「式を立てる」までが勝負。

針金の長さ $24$ は長方形の周。縦 $x$ なら「縦 $+$ 横 $=$ 周の半分 $=12$」だから、横は $12-x$。

$$S=x(12-x)=-x^2+12x$$

$2$ 次関数になった — あとは最大を求めるだけだ。

もうひとつ大事なのが変域。長さは正だから $x>0$ かつ $12-x>0$、つまり $0<x<12$。これを書き忘れると減点される。

(1) 針金24cmが長方形の周。縦2本+横2本 $=24$ なので、縦+横 $=24÷2=12$。

$$24÷2=12\mathrm{cm}$$

縦が $x$ なら横は $12-x$。面積は縦×横で

$$S=x(12-x)=-x^2+12x$$

定義域は、縦も横も正でなければならないので

$$x>0かつ12-x>0$$

つまり $0<x<12$。

(2) $S=-x^2+12x$ を平方完成する。

$$S=-x^2+12x=-(x^2-12x)=-\{(x-6{)}^2-36\}=-(x-6{)}^2+36$$

頂点 $(6,36)$、上に凸。頂点 $x=6$ は定義域 $0<x<12$ の中にあるので、$x=6$ のとき最大値 $S=36$。

まとめ:面積の文章題は『$S$ を $x$ の式にする → 定義域を決める → 平方完成 → 頂点で最大』の流れ。$x$ の範囲(縦も横も正)を必ず添える。

発展 — 一歩先へ。 変域 $0<x<12$ の両端が含まれない($<$)ことに注意したい。$x=0$ や $x=12$ では長方形が潰れて図形にならないからだ。幸い最大値をとる $x=6$ は変域の内側なので影響しないが、もし最大が端で起きる問題なら「端が含まれないので最大値なし」という答えもありうる — 変域の端の吟味は文章題の作法である。

逆の問題も面白い。「面積が一定のとき、周が最小になるのは?」— 答えはやはり正方形だ。「同じ面積なら正方形が最も周が短い」— この双対的な事実は、シャボン玉が球になる理由(同じ体積で表面積最小)と同じ原理につながっている。自然界は、こうした最適化を「自動的に」解いている。

別解

答え「$x=6$ で最大」— つまり縦 $6$、横 $6$ の正方形だ。これは偶然ではない。

周の長さが決まっているとき、面積が最大になるのは正方形 — 実は $2$ 数の和が一定なら、$2$ 数が等しいときに積が最大という一般法則の現れだ(相加平均と相乗平均の関係)。

$$\text{縦}+\text{横}=12(\text{一定})⟹\text{積(面積)は 縦}=\text{横}\text{のとき最大}$$

数値で確かめよう。和が $12$ になる組の積は

まん中(等しいとき)が最大 — 偏るほど積は小さくなる。

平方完成 $S=-(x-6{)}^2+36$ も同じことを言っている。$(x-6{)}^2$ は「$6$ からのずれの $2$ 乗」で、ずれるほど面積が減る。$36$ から「ずれの $2$ 乗」を引く — これが最大値 $36$ の意味だ。

この「和一定なら等しいとき積が最大」は、面積・体積の最適化問題で繰り返し現れる(数IIの箱の容積、数IIIの最適化)。答えが対称な形になったら、背後に対称性の原理がある — 検算にも、次の問題の予測にも使える視点である。