放物線と直線が接する条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「放物線と直線が接する」は、連立した方程式が重解をもつこと。

$x^2=2x-k$ を整理して $x^2-2x+k=0$。接する ⟺ この2次方程式の判別式 $=0$。

「共有点の個数=連立方程式の解の個数」という翻訳が、この型のすべての出発点になる。

① 連立する。 $y=x^2$ と $y=2x-k$ から $y$ を消去して $$x^2=2x-k⟹x^2-2x+k=0.$$ ② 判別式 $=0$。 接する条件は $$\frac{D}{4}=(-1{)}^2-k=1-k=0.$$ ③ 結論。 $k=1$。(このとき $x^2-2x+1=(x-1{)}^2=0$、接点 $x=1$、$(1,1)$。)

まとめ 接する=連立した $2$ 次方程式が重解=判別式 $0$。$1-k=0$ より $k=1$。$2$ 次関数(接する)と判別式の融合。

発展 — 一歩先へ。 接点 $(1,1)$ での直線の傾きは $2$ — これは微分($y^{\prime }=2x$ の $x=1$ での値)の先取りになっている。「判別式 $=0$ で接する」と「微分係数=直線の傾き」は、放物線では完全に同じ内容の2つの言い方。数IIで微分を学んだとき、この問題に戻って2つ目の目で見ると、接線の理解が立体的になる。

別解

平方完成で「差の最小値」を見る(接点まで同時に出る)。 放物線と直線の差を作る:

$$x^2-(2x-k)=x^2-2x+k=(x-1{)}^2+(k-1)$$

差は $x=1$ で最小値 $k-1$ をとる。

• $k-1>0$: 差がつねに正 — 離れている(共有点なし)
• $k-1=0$: 差が $x=1$ でだけ $0$ — 接する(接点 $x=1$、点 $(1,1)$)
• $k-1<0$: 差が符号を変える — 2点で交わる

接する条件 $k=1$ だけでなく、接点の位置と、$k$ を動かしたときの3態の全体像まで1枚で手に入る。判別式(本解)は「重解の有無」を測る計器、平方完成は「差がどこでどれだけ縮むか」を見る顕微鏡だ。