置き換えによる最小値(tの範囲に注意)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 式をよく見ると、同じかたまり $x^2-2x$ が $2$ 回現れている。これは置きかえのサインだ。$t=x^2-2x$ とおく。

ただし、置きかえには落とし穴がある。$t$ が自由に何でもとれるとは限らない。$t=x^2-2x$ 自身が $x$ の $2$ 次関数だからだ。

だから $t$ の動ける範囲を、自分で求める必要がある。「置きかえたら範囲もセットで引っ越す」が合言葉になる。

① 置きかえた $t$ の範囲を出す。 $t=x^2-2x$ を平方完成する。

$$t=(x-1{)}^2-1$$

$x$ は全実数を動くので、$(x-1{)}^2$ は0以上、$t$ は $-1$ 以上。

$$t\geqq -1$$

② $t$ の式にして、$t$ の範囲で最小を探す。 $f$ を $t$ で表すと $g(t)=t^2-4t+1$。平方完成する。

$$g(t)=t^2-4t+1=(t-2{)}^2-3$$

頂点 $t=2$、下に凸。頂点 $t=2$ は範囲 $t\ge -1$ の中にあるので、$t=2$ で最小値 $-3$。

③ 見つけた $t$ を $x$ に戻す。 $t=x^2-2x=2$ から

$$x^2-2x=2\text{すなわち}{x}^2-2x-2=0$$

解の公式で

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+8}}{2}=1\pm \sqrt{3}$$

よって

$$x=1\pm \sqrt{3}\text{ のとき最小値 }-3$$

まとめ:置きかえの $t$ の範囲は、$t=x^2-2x$ 自体が2次関数なので、その最小($-1$)から $t\ge -1$ と決まる。$t$ が単純に全実数になるわけではない点に注意。

発展 — 一歩先へ。 別解で得た形 $f(x)=(x^2-2x-2{)}^2-3$ をもう少し眺める。$x^2-2x-2=(x-1{)}^2-3$ だから、$f$ は $(x-1)$ だけで書ける。$f$ のグラフは直線 $x=1$ を軸に左右対称だ。

対称なので、最小をとる点も左右にペアで現れる。実際 $x=1+\sqrt{3}$ と $x=1-\sqrt{3}$ はどちらも $x=1$ から等しく離れていて、ともに最小値 $-3$ を与える。真ん中の $x=1$ では $f(1)=(-3{)}^2-3=6$ と、逆に山になる。

この「谷・山・谷」の形は $2$ つの底をもつ $4$ 次関数の典型で、物理では二重井戸ポテンシャルと呼ばれる。$1$ つのかたまりの $2$ 次式に落ちる $4$ 次関数は、こうした対称な二重谷の構造をもちやすい。

別解

別解 — 置きかえずに一気に完全平方(得意な人向けの視点)。 $t$ の範囲を気にせず、$f(x)$ をそのまま平方の形にまとめてしまう手もある。$x^2-2x$ を $1$ つのかたまりと見て、$f$ を「かたまりの $2$ 次式」として平方完成する。

$$f(x)=(x^2-2x{)}^2-4(x^2-2x)+1=\{(x^2-2x)-2{\}}^2-3=(x^2-2x-2{)}^2-3.$$

$f(x)$ は「何かの $2$ 乗」から $3$ を引いた形になった。$2$ 乗は $0$ 以上だから、つねに $f(x)\ge -3$。

あとは $f(x)=-3$、つまり $x^2-2x-2=0$ が実数解をもつかを確かめるだけ。判別式は $(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=12>0$ で、実際に解ける。

$$x=\frac{2\pm \sqrt{12}}{2}=1\pm \sqrt{3}.$$

$t$ の範囲を調べる本解に対し、こちらは $f$ を完全平方に押し込み、平方の中身が $0$ になれるか(方程式が解けるか)だけを見る。等号が届くので、本解と同じく $x=1\pm \sqrt{3}$ で最小値 $-3$。