定義域があるときの最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定義域がある最大最小は、候補を全部並べて比べるのが基本。候補は $2$ 種類しかない。

頂点(定義域の中にあれば)と、定義域の両端。

$y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-3$ の頂点は $(2,-3)$ — $0\leqq x\leqq 3$ の中にある。端は $x=0$ で $y=1$、$x=3$ で $y=-2$。

下に凸だから頂点が最小、最大は端のどちらか — 値を比べて $x=0$ の $1$ が最大だ。「グラフを描いて候補を拾う」が鉄則である。

まず平方完成する。

$$y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-4+1=(x-2{)}^2-3$$

頂点 $(2,-3)$、下に凸の放物線。定義域 $0\le x\le 3$ の範囲でグラフを見る。

最小: 頂点 $x=2$ は定義域 $0\le x\le 3$ の中にある。下に凸なので、頂点で最小。$x=2$ のとき最小値 $-3$。

最大: 下に凸のグラフは、定義域の両端のどちらかで最大になる。端の値を計算すると、$x=0$ で $y=1$、$x=3$ で $y=(3-2{)}^2-3=-2$。大きいのは $x=0$ の $y=1$。だから $x=0$ のとき最大値 $1$。

まとめ:定義域つきの最大・最小は、グラフをかいて『頂点が範囲に入るか』『端の値はいくつか』を見るのが確実。頂点だけ見て端を忘れると、最大を取り逃す。

発展 — 一歩先へ。 「定義域がなければどうなるか」を考えると、定義域のありがたみが分かる。$0\leqq x\leqq 3$ がなければ、この関数は $x$ をどこまでも大きくすれば $y$ もいくらでも大きくなる — 最大値は存在しない(最小値 $-3$ だけが存在する)。定義域を切ることで、初めて最大値が生まれた。

「区間の端と内部の候補を比べる」という手法は、$3$ 次関数(数II)でも、微分を使う最大最小(数III)でも、まったく同じ形で使われる。関数の形が複雑になっても、候補を漏れなく拾って比べるという骨格は変わらない — その最初の型がこの問題である。

別解

端のどちらが大きいかは、値を計算しなくても軸からの距離で分かる。

下に凸の放物線は、軸から遠いほど値が大きい(谷底から離れるほど高く登る)。

軸は $x=2$。定義域の端との距離を測ると

• 左端 $x=0$: 軸から $|0-2|=2$
• 右端 $x=3$: 軸から $|3-2|=1$

左端の方が遠い → 左端の方が値が大きい → 最大は $x=0$。

実際に計算しても $y(0)=1>y(3)=-2$ ✓ — 距離の判定と一致する。

この見方の利点は、計算前に答えの見当がつくこと。定義域が $-5\leqq x\leqq 3$ のように広ければ、$x=-5$(軸から $7$)が圧倒的に遠いので、計算するまでもなく最大値の場所が決まる。

上に凸(山)なら逆で、軸から遠いほど値が小さい(最小になる)。「凸の向き × 軸からの距離」の $2$ 情報で、端の勝負は計算なしで決着する。

最大最小は $3$ 点(頂点・左端・右端)の値比べ — 素朴だが、この $3$ 点を必ず全部拾う習慣が、取り逃しを防ぐ。