面積の和の最小値(針金の分割)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題では、まず「何を変数にすれば全部が $1$ 文字で書けるか」を決める。ここでは切る位置を $x$ とおく。

一方が $x$ cm、もう一方が $16-x$ cm。それぞれの正方形の面積を $x$ で表せば、面積の和は $x$ の $2$ 次関数になる。

変数を決めたら、定義域も同時に書き留める。$x$ も $16-x$ も正の長さだから $0<x<16$。これを式とセットで押さえておく。

① 片方を $x$ とおいて立式する。 針金を $x$ cmと $(16-x)$ cmに切る。それぞれで正方形を作るので、1辺は周の $\frac{1}{4}$。定義域は $x$ も $16-x$ も正なので

$$0<x<16$$

② 面積の和を $x$ の式にする。 $x$ cmの正方形は1辺 $\frac{x}{4}$、面積 $\frac{x^2}{16}$。$(16-x)$ cmの正方形は面積 $\frac{(16-x{)}^2}{16}$。面積の和は

$$S=\frac{x^2}{16}+\frac{(16-x{)}^2}{16}=\frac{x^2+(16-x{)}^2}{16}=\frac{2x^2-32x+256}{16}=\frac{x^2-16x+128}{8}$$

③ 平方完成して最小を読む。 分子を平方完成する。

$$S=\frac{(x-8{)}^2+64}{8}=\frac{(x-8{)}^2}{8}+8$$

頂点 $x=8$、下に凸。頂点 $x=8$ は定義域 $0<x<16$ の中なので、$x=8$ で最小値 $S=8$。

つまり針金を8cmずつ(等しく2等分)に切ると、面積の和が最小の $8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ になる。

まとめ:『2つに分けて、それぞれの面積の和を最小に』は、片方を $x$、もう片方を $16-x$ として和を $x$ の式にする。等分するとき最小、というきれいな結果になる。

発展 — 一歩先へ。 本解の $S=\frac{(x-8{)}^2}{8}+8$ を見ると、$x$ が $8$ から離れるほど $S$ は大きくなる。では逆に、面積の和を最大にするにはどう切ればよいか。

最大は「片方へ寄せる」方向にある。一方の針金を $0$ に近づけると、もう一方は $16$ cm、$1$ 辺 $4$ cm で、面積の和は $16\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ に近づく。ただし「$2$ つに切る」条件では両端 $x=0,16$ に届かない。だからこれは達しない上限で、最大値そのものは存在しない。

一般に、長さ $L$ の針金を $n$ 個に切って正方形を作るとき、面積の和は $\frac{1}{16}\sum x_i^2$ と書ける。切り分け $x_i$ の和 $\sum x_i=L$ が一定のもとでは、全部等しく $x_i=\frac{L}{n}$ のとき最小 $\frac{L^2}{16n}$ になる。和が一定なら $2$ 乗の和は「均等にばらす」ほど小さい、という性質だ。ここでは $L=16,n=2$ で $\frac{256}{32}=8$。分ける数 $n$ を増やすほど、作れる面積の最小はいくらでも小さくできる。

別解

別解 — 「辺の和が一定」に気づいて不等式で(得意な人向けの視点)。 $x$ を追う代わりに、$2$ つの正方形の $1$ 辺そのものを $a,b$ とおく。針金の総和は $16$ で、$4a+4b=16$、つまり

$$a+b=4(\text{辺の和は一定}).$$

面積の和は $a^2+b^2$。これを $a+b=4$ の条件のもとで最小にしたい。ここで次の不等式が使える。

$$a^2+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}=\frac{4^2}{2}=8.$$

等号は $a=b$、すなわち $a=b=2$ のとき。辺が $2$ cm の正方形が $2$ つで、針金は $8$ cm ずつだ。

$2$ 次関数に直して平方完成する本解に対し、こちらは「辺の和が $4$ で一定」と見抜き、$2$ 乗和の不等式で一発で下限 $8$ を出す。等号成立の条件が、そのまま切り方を教えてくれる。本解と同じく $8$ cm ずつで最小値 $8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$。