2次関数の決定(3点を通る条件)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 点しか情報がない — 頂点も軸も分からないので、一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ で立てる。

未知数は $a,b,c$ の $3$ つ。$3$ 点を代入して、$3$ 本の方程式を作る。

$$c=1,a+b+c=2,4a+2b+c=7$$

$1$ 本目で $c$ が即決するのは、通る点に $(0,1)$ があるから — $x=0$ の点は $c$ を直接教えてくれる。残り $2$ 本の連立を解けば $a,b$ が出る。

① 一般形に3点を代入する。 一般形 $y=a{x}^2+bx+c$ を使う。

$$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$

3点を代入する。$(0,1)$ から

$$1=c$$

$(1,2)$ から

$$2=a+b+c$$

$(2,7)$ から

$$7=4a+2b+c$$

② 連立を解く。 $c=1$ を残り2式に入れると

$$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ 4a+2b=6\end{array}$$

下の式を2で割ると $2a+b=3$。上の式との差をとると

$$a=2$$

$a=2$ を $a+b=1$ に入れて $b=-1$。よって

$$y=2x^2-x+1$$

まとめ:3点通過は『一般形に3点代入 → 連立を解く』。$(0,?)$ の点から $c$ が先に決まると、残りが2元連立になって解きやすい。

発展 — 一歩先へ。 答えが出たら必ず $3$ 点を代入し直す。$y=2x^2-x+1$ に $x=0,1,2$ を入れると $1,2,7$ ✓ — $3$ 点すべてで一致して初めて確定だ。連立の計算ミスは、この検算で確実に捕まる。

「$3$ 点を通る $2$ 次関数はただ $1$ つ」— この一意性は、より一般の補間の理論($n+1$ 点を通る $n$ 次関数がただ $1$ つ)につながる。データから曲線を復元する技術(ラグランジュ補間)の最小例が、この問題である。

別解

$x$ が等間隔($0,1,2$)に並んでいるとき、階差(差の差) から $a$ が一発で出る。

$y$ の値を並べて、隣どうしの差をとる。

$$y:1,2,7$$ $$\text{1 階差}:2-1=1,7-2=5$$ $$\text{2 階差}:5-1=4$$

そして重要な事実 — $x$ が $1$ ずつ増えるとき、$2$ 次関数の $2$ 階差は必ず $2a$ になる。

$$2a=4⟹a=2$$

$a$ が連立なしで決まった。あとは $c=1$($x=0$ の点)、$b$ は $(1,2)$ を代入して $2+b+1=2$ から $b=-1$。

$$y=2x^2-x+1$$

連立ルートと同じ答えだ ✓。

なぜ $2$ 階差が $2a$ になるのか — $f(x)=a{x}^2+bx+c$ で、$1$ 階差 $f(x+1)-f(x)=2ax+a+b$($x$ の $1$ 次式)。もう一度差をとると、$1$ 次式の差は定数 $2a$ になる。$2$ 次を $2$ 回差分すると定数 — 微分を $2$ 回して定数になるのと同じ構造だ。

この技は、$x$ が等間隔のときだけ使える裏技だが、$a$ を検算する手段としては常に有効。連立を解いた後、階差で $a$ を確かめれば計算ミスが捕まる。