数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

面積の最大値(文章題)

★★ 標準最大・最小文章題

問題

家の壁に沿って、長方形の花だんを作る。壁に垂直な2辺と壁に平行な1辺の計3辺を、合計 $16$ m の柵で囲む(壁に接する辺には柵を使わない)。壁に垂直な辺の長さを $x$ m とするとき、花だんの面積が最大となる $x$ の値と、そのときの面積を求めよ。

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壁を使わない3辺の合計から、辺の関係を立てる。垂直辺を $x$ とすると平行辺は? 面積を $x$ の式にして、変域に注意して平方完成。

解答・解説

壁を使うので、柵は3辺だけ。壁に垂直な2辺(各 $x$ )と壁に平行な1辺で、合計16m。

垂直2辺で $2 x$ 使うので、平行な辺は $16 - 2 x$ 。面積 $S = x (16 - 2 x)$ 。これを平方完成して頂点で最大を求める。定義域も忘れずに。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 壁を使う分だけ、柵の配分がふつうの長方形と違う。まず「柵 $16$ m がどの辺に使われるか」を図で確認する。

壁に垂直な2辺で $2 x$ を使うから、平行な辺は $16 - 2 x$ 。面積は $S = x (16 - 2 x)$ と式になる。

式ができたら、定義域(辺の長さが正)を添えて、頂点で最大を読む。文章題は「式を作る → 定義域 → 頂点」の3点セットだ。

(1)

壁に接する辺には柵を使わない(柵は3辺で合計 16 m)

柵は3辺(垂直な2辺と平行な1辺)。垂直な2辺で $2 x$ 使うので、壁に平行な辺は

$16 - 2 x (m)$

面積 $S$ は垂直辺 × 平行辺で $S = x (16 - 2 x)$ 。定義域は、 $x$ も $16 - 2 x$ も正なので

$x > 0 かつ 16 - 2 x > 0$

つまり $0 < x < 8$ 。

(2)

S = −2(x−4)² + 32(0 < x < 8)

$S = x (16 - 2 x)$ を平方完成する。

$S = x (16 - 2 x) = - 2 x^{2} + 16 x = - 2 (x^{2} - 8 x) = - 2 {(x - 4)^{2} - 16} = - 2 (x - 4)^{2} + 32$

頂点 $(4, 32)$ 、上に凸。頂点 $x = 4$ は定義域 $0 < x < 8$ の中なので、 $x = 4$ のとき最大値 $32 m^{2}$ 。

まとめ:壁を使う問題は、柵が3辺だけになるのがポイント。周の式を『 $2 x + (平行辺) = 16$ 』と正しく立てるのが大事だ。

発展 — 一歩先へ。 「和が一定の2数の積は、2数が等しいとき最大」という一般法則がこの問題の裏にある。 $2 x$ と $16 - 2 x$ の和は常に $16$ で、 $2 x = 16 - 2 x$ すなわち $x = 4$ のとき積が最大になる。

この法則は、数学IIで相加平均・相乗平均の関係として一般化される。面積・利益・強度など「配分して積を最大にする」問題の共通の背骨だ。

答

$x = 4$ のとき面積は最大値 $32 m^{2}$ をとる

平方完成せずに、「根の真ん中」で頂点を見抜く方法がある。

$S = x (16 - 2 x)$ は、 $x = 0$ と $x = 8$ のときに $S = 0$ になる(積の形からすぐ読める)。

放物線は左右対称だから、頂点はこの2つの根のちょうど真ん中、 $x = \frac{0 + 8}{2} = 4$ にある。

最大値は代入して $S (4) = 4 \times 8 = 32$ 。

積の形のまま「ゼロになる2点の真ん中」を読むこの方法は、展開も平方完成も要らない。面積の式が積の形で出てくる文章題とは特に相性がよい。