軸が動く場合の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$ と平方完成すると、軸は $x=a$ — $a$ が動けば軸も動く。

定義域 $0\leqq x\leqq 2$ は固定。だから「動く軸が、固定された窓のどこにいるか」で場合分けする。

• 軸が窓の左外($a<0$)→ 窓の中は増加 → 最小は左端 $x=0$
• 軸が窓の中($0\leqq a\leqq 2$)→ 最小は頂点
• 軸が窓の右外($a>2$)→ 窓の中は減少 → 最小は右端 $x=2$

$3$ つの型を、$a$ の範囲に翻訳する — それが場合分けの正体である。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-2ax+3=(x-a{)}^2-a^2+3$$

頂点は $(a,-a^2+3)$、軸 $x=a$。下に凸で、$a$ の値によって軸が左右に動く。定義域 $0\le x\le 2$ は固定。軸の位置で3つに場合分けする。

① 軸が左外($a<0$)

軸が定義域より左にあると、範囲内でグラフは右上がり。最小は左端 $x=0$。

$$f(0)=3$$

② 軸が範囲内($0\le a\le 2$)

軸(頂点)が定義域の中にあるので、頂点で最小。

$$f(a)=-a^2+3$$

③ 軸が右外($a>2$)

軸が定義域より右にあると、範囲内でグラフは右下がり。最小は右端 $x=2$。

$$f(2)=4-4a+3=-4a+7$$

まとめると、$a<0$ で最小値3、$0\le a\le 2$ で最小値 $-a^2+3$、$a>2$ で最小値 $-4a+7$。

まとめ:軸が動く問題は『軸が定義域の左外・中・右外』の3パターン。それぞれ、最小がどこ(左端・頂点・右端)になるかをグラフで確認する。

発展 — 一歩先へ。 求めた最小値を $a$ の関数と見ると、$3$ つの区間で異なる式をつないだ折れ線的な関数になる($3\to -a^2+3\to -4a+7$)。定数 $3$、放物線、直線 — 性格の違う $3$ つの曲線が、境目で滑らかにつながっている。「最小値を $a$ の関数として図示せよ」という発展問題は、この構造を描かせるものだ。

軸が動く型の問題は、$2$ 次関数の応用の中心。動くもの(軸)と固定されたもの(定義域)の位置関係 — この構図は、次の問題(定義域が動く)では役割が入れ替わる — 動くものが何であれ、$3$ つの型の切り替えという骨格は変わらない。

別解

場合分けの答えが正しいかを、境目でつながるかで検算できる。

$3$ つの式が出た。

• $a<0$: 最小値 $3$
• $0\leqq a\leqq 2$: 最小値 $-a^2+3$
• $a>2$: 最小値 $-4a+7$

境目 $a=0$ で: 左の式は $3$、真ん中の式に $a=0$ を入れると $-0+3=3$ — 一致 ✓

境目 $a=2$ で: 真ん中の式に $a=2$ を入れると $-4+3=-1$、右の式に $a=2$ を入れると $-8+7=-1$ — 一致 ✓

$2$ つの境目で値がつながった。

なぜつながるべきか — 軸 $a$ が連続的に動くとき、最小値も飛び跳ねずに連続的に変わるはずだからだ。もし境目で値が食い違ったら、どこかの場合の式が間違っているという強い証拠になる。

この検算は $1$ 分で終わり、場合分け問題の計算ミス(符号の取り違え、端の値の誤計算)をほぼ確実に捕まえる。場合分けの答えを出したら、必ず境目で照合する — これを習慣にすれば、$a$ が入る問題の恐怖は半減する。

余談だが、境目の $a=0$ と $a=2$ をどちらの場合に入れるか(等号の位置)は、どちらでもよい(境目では $2$ つの式が同じ値を与えるから)。等号の置き場所に悩む必要はない。