数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

頂点・軸とグラフの概形

★★ 標準グラフ頂点・軸

問題

2次関数 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 3$ について、次の問いに答えよ。

(1) グラフの頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

(2) グラフと $y$ 軸との交点の座標を求めよ。また、このグラフは上に凸か下に凸か。

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平方完成で頂点と軸。 $y$ 軸との交点は $x = 0$ を代入するだけ。凸の向きは $x^{2}$ の係数の符号。これらがそろえば概形がかける。

解答・解説

平方完成して頂点・軸を求め、あとは $y$ 軸との交点を出す。

$y$ 軸との交点は $x = 0$ を代入するだけ(=定数項 $c$ )。上に凸・下に凸は $x^{2}$ の係数の符号で判断する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 グラフの概形を問われたら、必要な部品を先にリストアップする。頂点・軸・凸の向き・ $y$ 軸との交点だ。

次に、部品ごとに入手方法を割り当てる。頂点と軸は平方完成。凸の向きは $x^{2}$ の係数の符号。 $y$ 軸との交点は $x = 0$ の代入。

計算より先に「何を集めるか」を決める。この段取りが、グラフ問題全般の型になる。

公式平方完成 → 頂点・軸。

y

軸との交点は

x = 0

を代入、凸の向きは

x^{2}

の係数の符号

y = −2(x−1)² + 5(頂点 (1, 5)、y 軸との交点 (0, 3))

(1) 平方完成する。

$y = - 2 x^{2} + 4 x + 3 = - 2 (x^{2} - 2 x) + 3 = - 2 {(x - 1)^{2} - 1} + 3 = - 2 (x - 1)^{2} + 2 + 3 = - 2 (x - 1)^{2} + 5$

よって

$頂点 (1, 5), 軸は直線 x = 1$

(2) $y$ 軸との交点は $x = 0$ を代入するだけ。

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 3 = 3$

だから $y$ 軸との交点は $(0, 3)$ 。また $x^{2}$ の係数が $- 2 < 0$ なので上に凸。

まとめ: $y$ 軸との交点は、いつも $x = 0$ を代入して求まる(=定数項)。凸の向きは $x^{2}$ の係数の符号で決まる。

発展 — 一歩先へ。 今日集めた部品リスト(頂点・軸・凸・切片)は、2次関数のグラフ問題すべての共通装備だ。このあとの最大最小も、2次不等式も、結局はこのグラフを読む作業になる。

別解の「同じ高さの2点の真ん中が軸」という対称性は、放物線の一番深い性質だ。 $x$ 軸との2交点の真ん中が軸、という形で2次方程式・2次不等式でも使い回せる。

答

(1) 頂点 $(1, 5)$ 、軸は直線 $x = 1$ (2) $y$ 軸との交点 $(0, 3)$ 、上に凸

平方完成せずに、軸を「対称性」から見抜く方法もある。

放物線は軸について左右対称だ。だから、同じ高さになる2点が見つかれば、その真ん中が軸になる。

この関数では $x = 0$ のとき $y = 3$ (定数項)。もう1つ $y = 3$ になる点を探すと、 $- 2 x^{2} + 4 x + 3 = 3$ から $- 2 x (x - 2) = 0$ 、つまり $x = 2$ 。

$x = 0$ と $x = 2$ が同じ高さだから、軸はその真ん中の $x = 1$ 。頂点の $y$ 座標は代入して $f (1) = 5$ 。

「同じ高さの2点の真ん中が軸」。この対称性の目は、平方完成が面倒な式や、グラフの読み取り問題で威力を発揮する。