数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

最大値・最小値から係数を決定する

★★★ 応用最大・最小係数決定場合分け

問題

$a \neq = 0$ とする。関数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + b$ ( $1 ≦ x ≦ 3$ )の最大値が $5$ 、最小値が $- 3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

ヒントを見る

$f (x) = a (x - 1)^{2} - a + b$ で軸は $x = 1$ 。定義域での最大・最小は、 $a$ の符号(上に凸か下に凸か)で頂点と端の役割が入れかわる。 $a > 0$ と $a < 0$ の両方を調べ、条件に合うものを選ぶ。

解答・解説

方針

$f (x) = a x^{2} - 2 a x + b = a (x - 1)^{2} - a + b$ 。軸は $x = 1$ (定義域 $1 \leq x \leq 3$ の左端)。定義域内では、 $x = 1$ (頂点)と $x = 3$ で値が決まる。

ただし $a$ の符号がわからない。 $a > 0$ (下に凸)なら $x = 1$ で最小・ $x = 3$ で最大、 $a < 0$ (上に凸)なら逆。2通りに場合分けして、最大5・最小 $- 3$ の条件から $a, b$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 かなめは $a$ の符号だ。 $a$ の正負でグラフが上に凸か下に凸かが変わり、最大・最小を与える場所が入れかわる。

だから「 $a > 0$ の世界」と「 $a < 0$ の世界」を、最初から $2$ つに分けて進めると決める。

向きを決めずに計算を始めると、どちらの端が最大か分からず混乱する。場合分けを先に宣言してから手を動かすのがコツだ。

公式最大・最小から係数決定:

a

の符号(上に凸/下に凸)で頂点と端の役割が入れかわる。両方調べる

平方完成する。

$f (x) = a (x^{2} - 2 x) + b = a (x - 1)^{2} - a + b$

軸は $x = 1$ で、これは定義域 $1 \leq x \leq 3$ の左端。定義域内での値は、両端 $x = 1$ と $x = 3$ で決まる。

$f (1) = b - a, f (3) = 9 a - 6 a + b = 3 a + b$

$a$ の符号で、どちらが最大・最小か変わるので場合分けする。

① $a > 0$ (下に凸)

(i) a > 0(答: a = 2, b = −1)— 増加なので x = 1 で最小、x = 3 で最大

頂点(左端 $x = 1$ )で最小、右端 $x = 3$ で最大。

$最小値 = f (1) = b - a = - 3, 最大値 = f (3) = 3 a + b = 5$

連立を解く。引き算すると $4 a = 8$ 、 $a = 2$ 、 $b = - 1$ 。 $a = 2 > 0$ で条件に合う。

② $a < 0$ (上に凸)

(ii) a < 0(答: a = −2, b = 3)— 減少なので x = 1 で最大、x = 3 で最小

頂点(左端 $x = 1$ )で最大、右端 $x = 3$ で最小。

$最大値 = f (1) = b - a = 5, 最小値 = f (3) = 3 a + b = - 3$

連立を解くと $4 a = - 8$ 、 $a = - 2$ 、 $b = 3$ 。 $a = - 2 < 0$ で条件に合う。

よって

$(a, b) = (2, - 1) または (a, b) = (- 2, 3)$

まとめ: $a$ の符号が不明なので、下に凸・上に凸の2通りを両方調べるのがポイント。最大と最小がどちらの端でとるかが入れかわる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 組の答え $(2, - 1)$ と $(- 2, 3)$ には、きれいな対称性がある。最大 $5$ と最小 $- 3$ の真ん中の高さは $\frac{5 + ( - 3 )}{2} = 1$ 。この横線 $y = 1$ を鏡にして、 $2$ つのグラフは上下反転の関係にある。

実際、 $a = 2$ の $f_{1} (x) = 2 (x - 1)^{2} - 3$ を $y = 1$ で折り返すと $2 - f_{1} (x) = - 2 (x - 1)^{2} + 5$ で、これが $a = - 2$ の $f_{2} (x)$ に一致する。横線で折り返すと最大と最小が入れかわるが、 $2$ 値の集合 ${5, - 3}$ は変わらない。

「最大 $M$ ・最小 $m$ を指定して係数を決める」問題で解が $2$ 組出るのは、多くの場合この鏡映のペアだ。中央値 $\frac{M + m}{2}$ を軸に上下をひっくり返しても条件を満たす、という対称性が背後にある。

答

$(a, b) = (2, - 1)$ または $(- 2, 3)$

別解

別解 — 端の値の和と差で一気に決める(得意な人向けの視点)。 軸 $x = 1$ は定義域 $1 \leq x \leq 3$ の左端にある。だから $f$ はこの区間で単調で、最大と最小はかならず両端 $x = 1, 3$ の値だ。どちらが最大かは分からないが、 $2$ 値の集合 ${f (1), f (3)}$ が ${5, - 3}$ になる。

そこで和と差をとる。まず和は、

$f (1) + f (3) = (b - a) + (3 a + b) = 2 a + 2 b = 5 + (- 3) = 2,$

よって $a + b = 1$ 。次に差の絶対値は、最大と最小の差 $5 - (- 3) = 8$ に等しい。

$∣ f (3) - f (1) ∣ = ∣4 a ∣ = 8 ⟹ a = \pm 2.$

$a + b = 1$ と合わせて、 $a = 2$ なら $b = - 1$ 、 $a = - 2$ なら $b = 3$ 。

$(a, b) = (2, - 1) または (- 2, 3) .$

$a$ の符号で場合分けする本解に対し、こちらは「端の値の和 $=$ 最大 $+$ 最小」「端の値の差の絶対値 $=$ 範囲」を使い、 $\pm$ が両方の解を一度に出す。本解と同じ $2$ 組に至る。

ポイント

$a$ の符号が不明 → 下に凸・上に凸の2通りを調べる
下に凸なら頂点で最小、上に凸なら頂点で最大(入れかわる)
各場合で連立を解き、 $a$ の符号が条件に合うか確認

よくある間違い

$a > 0$ の場合だけ調べて満足し、 $a < 0$ で得られるもう $1$ 組 $(- 2, 3)$ を落とす。
各場合で最大・最小がどちらの端でとるかを取り違え、連立の右辺 $5$ と $- 3$ を逆に当てる。
求めた $a$ の符号が、その場合の前提( $a > 0$ か $a < 0$ )に合うかの確認を飛ばす。