定義域が動く場合の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 今度は逆 — 軸が固定、定義域が動く。

$f(x)=(x-2{)}^2+1$ の軸は $x=2$(固定)。定義域は $a\leqq x\leqq a+2$ という幅 $2$ の窓が $a$ とともに左右にスライドする。

考え方は前問と同じ。「軸 $2$ が、動く窓のどこにいるか」で場合分けだ。

• 窓が軸より左($a+2<2$、つまり $a<0$)→ 最小は窓の右端 $x=a+2$
• 軸が窓の中($a\leqq 2\leqq a+2$、つまり $0\leqq a\leqq 2$)→ 最小は頂点
• 窓が軸より右($a>2$)→ 最小は窓の左端 $x=a$

「動くのは軸か窓か」を最初に見極めるのが、この $2$ 題の分かれ目である。

平方完成する。

$$f(x)=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$$

頂点 $(2,1)$、下に凸で固定。定義域 $a\le x\le a+2$(幅2の窓)が $a$ によって左右に動く。頂点 $x=2$ が窓のどこにあるかで場合分けする。

① 窓が頂点より左($a+2<2$、つまり $a<0$)

窓全体が頂点の左にあると、範囲内でグラフは右下がり。最小は右端 $x=a+2$。

$$f(a+2)=\{(a+2)-2{\}}^2+1=a^2+1$$

② 窓が頂点を含む($0\le a\le 2$)

頂点 $x=2$ が窓の中($a\le 2\le a+2$)にあるので、頂点で最小。

$$f(2)=1$$

③ 窓が頂点より右($a>2$)

窓全体が頂点の右にあると、範囲内でグラフは右上がり。最小は左端 $x=a$。

$$f(a)=(a-2{)}^2+1=a^2-4a+5$$

まとめると、$a<0$ で最小値 $a^2+1$、$0\le a\le 2$ で最小値1、$a>2$ で最小値 $a^2-4a+5$。

まとめ:前問は『軸が動く』型、こちらは『定義域が動く』。どちらも『頂点(軸)と定義域の位置関係』の3場合分けで、グラフをかいて考えるのは同じだ。

発展 — 一歩先へ。 場合分けの境目 $a=0$ と $a=2$ が意味するのは「軸 $x=2$ が、窓の端にちょうど重なる瞬間」だ。$a=0$ なら窓は $[0,2]$ で軸が右端に、$a=2$ なら窓は $[2,4]$ で軸が左端に一致する。境目 = 軸が端に触れる $a$ — この見方で境目を求めれば、条件式($a+2\geqq 2$ など)を立てる前に答えが分かる。

最小値を $a$ の関数として見ると、$a^2+1$($a<0$)・$1$($0\leqq a\leqq 2$)・$a^2-4a+5$($a>2$)— 放物線・水平・放物線という「谷を平らにならした」形になる。動く窓が谷を「すくえる」区間だけ、最小値が一定の $1$ になる — 図にすると美しい構造が見える。

別解

前問と今回は、見た目は違うがまったく同じ構図だ — そのことに気づくと、場合分けの型は $1$ つ覚えれば足りる。

どちらも問うているのは

「軸(谷底)は、定義域の窓の中にいるか、左にいるか、右にいるか」

だけ。動くのが軸でも窓でも、相対的な位置関係しか結果に影響しない。

軸が窓の左にあれば、窓の中は右上がり(単調増加) — だから窓の左端が最小。軸が右なら逆。軸が中にあれば頂点が最小。

$3$ 行目と $4$ 行目で $a$ の条件が入れ替わって見えるのは、「$a$ が何を表すか」が違うだけ — 図で見れば同じ $3$ 型だ。

境目の検算も忘れずに。$a=0$ で: 窓の右端の式 $a^2+1=1$、頂点の式 $1$ — 一致 ✓。$a=2$ で: 頂点の $1$、左端の式 $a^2-4a+5=4-8+5=1$ — 一致 ✓。

「動くのは何か」ではなく「軸と窓の相対位置」で考える — この抽象化が、場合分けを $1$ つの型に統一する。