ミニマックス(区間での最大値の最小化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「最大値を最小にする」。ミニマックスの問題だ。$x^2$ の山を、直線の項 $ax+b$ でどれだけ打ち消せるかが問われている。

この型の最適化は、両側から挟むのが定石だ。下からは「どんな $a,b$ でも $M\ge c$」という不等式。上からは「$M=c$ になる実例」。両方そろって初めて、最小値が確定する。

下からの評価には、区間の端と中央の値から「2次の係数だけを取り出す」組合せを使う。

① 下からの評価。 $g(x)=x^2+ax+b$ とし、$x=1,0,-1$ での値を見る。$g(1)=1+a+b$、$g(-1)=1-a+b$、$g(0)=b$ だから

$$g(1)+g(-1)-2g(0)=2$$

$a,b$ が消えて $2$ になった。三角不等式で

$$|g(1)|+|g(-1)|+2|g(0)|\ge |g(1)+g(-1)-2g(0)|=2$$

もし3つの値がすべて絶対値 $<\frac{1}{2}$ なら、左辺 $<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=2$ となって矛盾する。よってどれかは $\frac{1}{2}$ 以上。すなわち $M(a,b)\ge \frac{1}{2}$ だ。

② 上からの評価(等号の実現)。 $a=0,b=-\frac{1}{2}$ をとると $g(x)=x^2-\frac{1}{2}$。$-1\le x\le 1$ で $x^2\in [0,1]$ だから $g(x)\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$。すなわち $|g(x)|\le \frac{1}{2}$ だ。しかも $x=0$ で $-\frac{1}{2}$、$x=\pm 1$ で $\frac{1}{2}$ に達する。よって $M\left(0,-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

①②より最小値は $\frac{1}{2}$。

まとめ: ミニマックスは「下から(不等式)」と「上から(実例)」で挟む。急所は $g(1)+g(-1)-2g(0)=2$ という、2次の係数だけを残す組合せだ。等号を与える $x^2-\frac{1}{2}$ は、両端と中央で符号を変えながら等しい大きさ $\frac{1}{2}$ に達する(チェビシェフ多項式 $\frac{1}{2}{T}_2$)。

発展 — 一歩先へ。 区間全体でなく、3点 $x=-1,0,1$ だけで最大を測っても答えは同じ $\frac{1}{2}$ になる(①はその3点しか使っていない)。さらに一般に、$n$ 次の係数1の多項式が区間 $[-1,1]$ で達しうる最大絶対値の最小は $\frac{1}{2^{n-1}}$ で、実現するのがチェビシェフ多項式だ。本問はその $n=2$ の姿である。

別解

対称性で当たりを付ける(直感ルート)。 区間 $[-1,1]$ も $y=x^2$ も、$y$ 軸に関して左右対称だ。なら、最適な直線も左右対称のはず。傾きは $a=0$ と当たりを付けてよい。

残るは $b$ だけ。$g(x)=x^2+b$ を考える。$x^2$ は区間上で $0$ から $1$ まで動くから、$g$ の値は $b$ から $1+b$ までの帯になる。帯の中の絶対値の最大は

$$\max (|b|,|1+b|)$$

2つの値は $b=-\frac{1}{2}$ のとき等しくなり、そのとき最大は $\frac{1}{2}$。帯 $[0,1]$ を上下対称の $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ に置いた瞬間が、いちばん「薄く」見える瞬間だ。

これで候補 $M=\frac{1}{2}$($a=0,b=-\frac{1}{2}$)が立つ。「これより小さくできない」ことは、本解①の不等式が保証してくれる。対称性で候補を絞り、不等式で締める。分業させると、それぞれの仕事が軽くなる。