パラメータつき2次式が常に正となる条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての $x$ で $>0$」— 全称の条件は、グラフで「放物線が $x$ 軸より完全に上」と読む。

$x^2$ の係数は正(下に凸)だから、軸より上 ⟺ $x$ 軸と交わらない ⟺ 判別式 $<0$。

判別式は $a$ の2次式になる。$a^2-a-2<0$ を因数分解して解けば、$a$ の範囲が出る。

① 判別式 $<0$。 $$\frac{D}{4}=a^2-1\cdot (a+2)=a^2-a-2<0.$$ ② $a$ の不等式を解く。 $a^2-a-2=(a-2)(a+1)<0$ より $$-1<a<2.$$

まとめ 常に正 $⟺$ 判別式 $<0$ $⟺$ $(a-2)(a+1)<0$ $⟺$ $-1<a<2$。$2$ 次関数(判別式)と全称命題の融合。判別式が $a$ の $2$ 次式になるのが味。

発展 — 一歩先へ。 境界の $a=2$ ではグラフが $x$ 軸に接する($x=2$ で $f=0$)。「常に正」の範囲の端は、いつも「接する瞬間」だ。また本問と前問(2正解: $a>2$)と「2負解」「異符号の2解」…を全部並べると、$a$ の数直線が判別式と配置条件で完全に分割される — パラメータの全域を1枚の地図にする習慣は、出題の裏側まで見せてくれる。

別解

平方完成で最小値を直接押さえる+前問との対比。 平方完成すると

$$x^2-2ax+a+2=(x-a{)}^2+(a+2-a^2)$$

最小値は $a+2-a^2$。「すべての $x$ で正」⟺「最小値 $>0$」⟺ $a^2-a-2<0$ ⟺ $-1<a<2$。

面白いのは、同じ関数を使った前問(異なる2つの正の解をもつ条件: $a>2$)との関係だ。判別式 $a^2-a-2$ の符号が

• $a^2-a-2<0$($-1<a<2$): 解なし=グラフが浮いている(本問)
• $a^2-a-2>0$: 2実解あり — さらに配置の条件を足すと $a>2$ で2正解(前問)

と、1本の2次式 $a^2-a-2$ が2つの問題の分水嶺を同時に描いている。パラメータの2次式は、問題をまたいで再利用される「地形図」なのだ。