2次関数の決定(頂点・軸の条件)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2次関数の決定は、条件の種類で式の形を選ぶところから始まる。

頂点が分かっているなら頂点の形 $y=a(x-p{)}^2+q$。軸だけ分かっているなら、$p$ に軸を入れて $a$ と $q$ を残した形。

選んだ形に条件を代入し、残った未知数を通る点で決める。「形の選択 → 代入」の2段の設計を、計算の前に立てる。

(1) 頂点 $(2,-1)$ なので

$$y=a(x-2{)}^2-1(a\ne 0)$$

点 $(4,7)$ を代入。

$$7=a(4-2{)}^2-1=4a-1$$

$4a=8$、$a=2$。よって

$$y=2(x-2{)}^2-1(\text{展開すると }y=2x^2-8x+7)$$

(2) 軸 $x=-1$ なので

$$y=a(x+1{)}^2+q(a\ne 0)$$

2点を代入して連立で $a,q$ を求めると $a=-2,q=3$。よって

$$y=-2(x+1{)}^2+3(\text{展開すると }y=-2x^2-4x+1)$$

まとめ:頂点や軸がわかれば $y=a(x-p{)}^2+q$ の形を使い、通る点を代入して残りを決める。

発展 — 一歩先へ。 未知数の数と条件の数は釣り合っている。頂点の形なら未知数は $a$ の1つで、通る点1つで決まる。軸だけなら $a,q$ の2つで、点が2つ要る。次の問題(3点通過)では未知数3つ・条件3つだ。

「条件1つで未知数1つが決まる」という感覚は、方程式の応用すべてで通用する釣り合いの原理である。

別解

$a$ を「開き具合」として、ずれの比で読む方法もある。

頂点形 $y=a(x-p{)}^2+q$ は、「$x$ が頂点から $d$ ずれると、$y$ は頂点から $a{d}^2$ ずれる」と読める。

(1) 頂点 $(2,-1)$ に対し、点 $(4,7)$ は $x$ のずれが $2$、$y$ のずれが $8$。だから $a\times 2^2=8$ で $a=2$。式を解いた感覚なしに、比だけで $a$ が出る。

(2)も同じ読み方ができる。軸 $x=-1$ から、点 $(0,1)$ はずれ $1$、点 $(1,-5)$ はずれ $2$。頂点の高さを $q$ とすると $q+a=1$、$q+4a=-5$。差をとって $3a=-6$、$a=-2$、$q=3$。

「$a$ は開き具合、$a{d}^2$ がずれの量」という体感を持つと、グラフから式を読み取る問題全般が速くなる。