積の形の関数の最小値(共通のかたまりを置きかえ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの因数 $x^2-4x+3$ と $x^2-4x+5$ に共通の $x^2-4x$ が見える。これを $t$ とおくのが急所だ。

ただし置換したら $t$ の動く範囲を必ず押さえる。$t=x^2-4x=(x-2{)}^2-4\ge -4$。だから $t\ge -4$。

$y=(t+3)(t+5)=t^2+8t+15=(t+4{)}^2-1$。頂点は $t=-4$。この $t=-4$ は $t$ の動ける範囲の左端でちょうど達成できる($x=2$)から、そこが最小 $-1$。「置換後の範囲の端で頂点に届くか」の確認が肝心だ。

① 共通のかたまりを置きかえる。 $t=x^2-4x$ とおくと

$$y=(t+3)(t+5)=t^2+8t+15=(t+4{)}^2-1$$

② $t$ の範囲を求める。 $t=x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ だから、$t$ の最小値は $-4$(=$x=2$ のとき)。よって $t\ge -4$。

③ 最小を決める。 $y=(t+4{)}^2-1$ の頂点は $t=-4$。これは範囲 $t\ge -4$ の左端にちょうど含まれるから、$t=-4$ で最小 $y=-1$。このとき $x=2$。

まとめ:「共通のかたまりを置きかえて $2$ 次式」に落とすとき、置きかえた文字の範囲を出すのが必須。ここでは $t$ の頂点 $-4$ が範囲の左端に一致していて、うまく最小が取れた。もし頂点が範囲の外なら、最小は範囲の端になる。

発展 — 一歩先へ。 「共通のかたまりを置換」は $4$ 次以上の関数を $2$ 次に落とす常套手段。ただし置換後の変数の範囲($t\ge -4$ や $u\ge 0$)を必ず押さえないと、達成できない頂点を最小値と誤る。今回は頂点 $t=-4$ が範囲の端でちょうど取れたが、範囲外に頂点があれば端が最小になる。「置換したら範囲」が合言葉だ。

別解

別解 — $2$ 因数の“平均”からのずれで見る(得意な人向けの視点)。 $y=(x^2-4x+3)(x^2-4x+5)$ の $2$ 因数は、$x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ を中心に $\pm 1$ ずれている: $(u-1)(u+1)$ ただし $u=(x-2{)}^2$。

$$y=(u-1)(u+1)=u^2-1,u=(x-2{)}^2\ge 0.$$

$u\ge 0$ の範囲で $u^2-1$ が最小なのは $u=0$、すなわち $x=2$。最小値は $0-1=-1$。

$t=x^2-4x$ とおく(本解)より、$u=(x-2{)}^2$(頂点からの距離の$2$乗)を中心に据えると、$2$ 因数が $u\pm 1$ と対称になり、積が $u^2-1$ と一気にきれいになる。$2$ 因数の定数 $3,5$ の平均が $4=(x-2{)}^2$ の“芯”で、そこからの $\pm 1$ が積を平方差にする。