数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

置き換えによる最小値

★ 基礎最大・最小置き換え

問題

関数 $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

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$x^{2}$ をひとかたまり( $= t$ )と見ると、 $t$ の2次関数になる。ただし $t = x^{2}$ なので $t \geq 0$ — この範囲での最小を平方完成で。最後に $t$ から $x$ に戻すのを忘れずに。

解答・解説

方針

$y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ は $x^{4}$ があるが、 $x^{2} = t$ と置きかえると $y = t^{2} - 2 t + 3$ という2次関数になる。

ただし注意 — $t = x^{2}$ は0以上( $t \geq 0$ )。だから $t$ の定義域は $t \geq 0$ 。この範囲で $t$ の2次関数の最小を求め、そのときの $t$ から $x$ を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{4}$ と $x^{2}$ しかない — $x^{2}$ をひとかたまりと見れば $2$ 次関数だ。

$t = x^{2}$ とおくと

$y = t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2$

見慣れた $2$ 次関数になった。

ここで最重要の一手 — $t$ の変域を確認する。 $t = x^{2}$ は $2$ 乗だから $t ≧ 0$ 。この制限を忘れると、あり得ない $t$ で最小値を出してしまう。今回は最小を与える $t = 1$ が $t ≧ 0$ の中にあるので安全だ。

t = x²(t ≥ 0)とおくと y = (t−1)² + 2

公式置きかえ

x^{2} = t

のとき

t \geq 0

。この範囲で

t

の2次関数を調べる

$x^{2} = t$ と置きかえる。ここで大事なのは、 $t = x^{2}$ は必ず0以上ということ。

$t \geq 0$

すると $x^{4} = (x^{2})^{2} = t^{2}$ なので

$y = t^{2} - 2 t + 3$

これを平方完成する。

$y = (t - 1)^{2} - 1 + 3 = (t - 1)^{2} + 2$

頂点 $(1, 2)$ 、下に凸。頂点 $t = 1$ は定義域 $t \geq 0$ の中にあるので、 $t = 1$ で最小値2。

最後に $x$ に戻す。 $t = x^{2} = 1$ から $x = \pm 1$ 。よって $x = \pm 1$ のとき最小値2。

まとめ:置きかえのポイントは、 $t = x^{2} \geq 0$ という定義域を必ずつけること。これを忘れて $t$ を自由に動かすと、間違った答えになる。最後に $t$ から $x$ を戻すのも忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 $t ≧ 0$ の制限が効くケースも見ておこう。もし $y = t^{2} + 2 t + 3 = (t + 1)^{2} + 2$ なら、 $t$ の頂点は $t = - 1$ — だが $t ≧ 0$ なのでこの頂点は使えない。 $t ≧ 0$ の範囲では単調増加なので、最小は端の $t = 0$ ( $x = 0$ )で $y = 3$ になる。変域の外の頂点は無効 — 定義域つき最大最小の考え方が、置き換え問題でそのまま生きる。

この関数 $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ のグラフは、 $y$ 軸対称で谷が $2$ つある「W字型」。 $x = 0$ は谷ではなく山( $y = 3$ )で、両側の $x = \pm 1$ が谷 — 置き換えの計算が、この形を正確に言い当てている。 $4$ 次関数のグラフの姿を、 $2$ 次関数の知識だけで捉えたことになる。

答

$x = \pm 1$ のとき最小値 $2$

別解

置き換えをせず、 $x$ のまま平方完成することもできる — $t$ に戻し忘れる事故が原理的に起きない。

$x^{4} - 2 x^{2}$ の部分を、 $x^{2}$ について完全平方にする。

$y = (x^{2})^{2} - 2 (x^{2}) + 3 = (x^{2} - 1)^{2} + 2$

この形から直接読める。 $(x^{2} - 1)^{2} ≧ 0$ なので

$y ≧ 2$

等号は $x^{2} - 1 = 0$ 、つまり $x = \pm 1$ のとき。最小値は $2$ 。

$t$ を経由しないので、「 $x$ に戻し忘れる」というミスが起きない — これがこの書き方の最大の利点だ。置き換えルートでは「 $t = 1$ で最小」まで出して安心してしまい、 $x = \pm 1$ という答えを書き忘れる事故が頻発する。

答えが $x = \pm 1$ と $2$ つになることにも注意したい。 $t = x^{2} = 1$ を満たす $x$ は $1$ と $- 1$ の $2$ つ — $t$ から $x$ に戻すとき、 $1$ つの $t$ に $2$ つの $x$ が対応する(この関数が偶関数で、 $y$ 軸対称だからだ)。

置き換えは「見通しをよくする」、直接平方完成は「戻し忘れを防ぐ」— 好きな方でよいが、 $t$ の変域と $x$ への復元という $2$ つの落とし穴は、どちらのルートでも意識しておきたい。

ポイント

$x^{4}, x^{2}$ の関数は $x^{2} = t$ と置きかえて2次関数に
$t = x^{2} \geq 0$ の定義域を必ずつける
最後に $t = x^{2}$ から $x$ を戻す( $t = 1$ なら $x = \pm 1$ )

よくある間違い

$t \geq 0$ の定義域を忘れる
$t$ の最小で止めて、 $x$ に戻し忘れる
$x = \pm 1$ の $2$ 解のうち片方だけ答える(偶関数なので $\pm$ で対)