グラフの対称移動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対称移動も、置き換えの規則で処理できる。

• $x$ 軸対称(上下ひっくり返す): $y$ を $-y$ に置き換え
• $y$ 軸対称(左右ひっくり返す): $x$ を $-x$ に置き換え
• 原点対称($180°$ 回転): 両方置き換え

$x$ 軸対称なら $-y=x^2-4x+5$、つまり $y=-x^2+4x-5$。どの軸で何を置き換えるか、$3$ つの組み合わせを取り違えないことがすべてだ。

もとの放物線は $y=x^2-4x+5$。

(1) $x$ 軸に関する対称移動は、$y$ を $-y$ に置きかえる。

$$-y=x^2-4x+5$$

両辺に $-1$ をかけて $y=$ の形にする。

$$y=-x^2+4x-5$$

(2) $y$ 軸に関する対称移動は、$x$ を $-x$ に置きかえる。

$$y=(-x{)}^2-4(-x)+5=x^2+4x+5$$

$(-x{)}^2=x^2$、$-4(-x)=+4x$ に注意。

(3) 原点に関する対称移動は、$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ に置きかえる。$x$ を $-x$ にした(2)の右辺を、さらに $y\to -y$ にした形なので

$$-y=x^2+4x+5$$

$y=$ の形にして

$$y=-x^2-4x-5$$

まとめ:対称移動は『$x$軸なら $y\to -y$、$y$軸なら $x\to -x$、原点なら両方』の置きかえ。落ち着いて符号を追おう。

発展 — 一歩先へ。 $(-x{)}^2=x^2$ という事実が、$y$ 軸対称の計算で効いている — $x^2$ の項は $x\to -x$ で変わらないが、$x$ の項(奇数次)は符号が反転する。一般に「偶数次の項は $y$ 軸対称で不変、奇数次は符号反転」— $y=x^2$($y$ 軸対称な偶関数)と $y=x^3$(原点対称な奇関数)の性質の由来がここにある。

対称移動を $2$ 回続けると元に戻る($x$ 軸対称を $2$ 回で恒等)。また「$x$ 軸対称 $+$ $y$ 軸対称 $=$ 原点対称」— $3$ つの移動は独立ではなく、$2$ つ知れば $3$ つ目は自動的に決まる。移動の合成という見方は、数Cの $1$ 次変換へつながっていく。

別解

頂点の移動で確かめると、置き換えの結果が図形的に納得でき、検算にもなる。

$y=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$ — もとの放物線は頂点 $(2,1)$ の下に凸だ。

(1) $x$ 軸対称: 頂点は上下反転で $(2,-1)$ へ。谷が山になる(上に凸に反転)。

$$y=-(x-2{)}^2-1=-x^2+4x-5$$

(2) $y$ 軸対称: 頂点は左右反転で $(-2,1)$ へ。凸の向きは変わらない(左右に鏡映しても谷は谷)。

$$y=(x+2{)}^2+1=x^2+4x+5$$

(3) 原点対称: 頂点は $(-2,-1)$ へ。$180°$ 回転なので上に凸になる。

$$y=-(x+2{)}^2-1=-x^2-4x-5$$

いずれも置き換えの結果と一致する ✓。

凸の向きが反転するのは、$x$ 軸対称と原点対称($y$ が $-y$ になる場合)だけ — $y$ 軸対称では変わらない。この $1$ 行を覚えておけば、答えの $x^2$ の係数の符号を即座に検算できる。

「置き換えで計算し、頂点で検算する」— $2$ 重チェックの型である。