数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

軸が動く場合の最大値(場合分け)

★★ 標準最大・最小場合分け

問題

$a$ は定数とする。2次関数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2$ ( $0 \leq x \leq 6$ ) の最大値を求めよ。

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下に凸のグラフの最大は必ず『端』でとる。軸が定義域の中央より左なら遠いのは右端、右なら左端。境目は軸が中央にくるとき — そこで場合分け。

解答・解説

軸が動く『最大値』。最小値のときと考え方は同じだが、最大は端でとる(下に凸の場合)。

下に凸の放物線を、定義域 $0 \leq x \leq 6$ で見ると、最大は両端のどちらか高い方。軸(頂点)が定義域の中央 $x = 3$ より左なら右端、右なら左端で最大。だから軸 $a$ が3より小さい・等しい・大きい、で場合分けする。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最大値版は、最小値のときと景色が違う。下に凸のグラフの最大は、必ず端で起きる。

だから比べるのは両端の高さだ。どちらの端が高いかは、どちらが軸から遠いかで決まる。

軸が定義域の中央 $x = 3$ より左なら右端が遠くて高い。右なら左端。ちょうど中央なら両端が同じ高さ。境目が「中央」になるのが、最小値のときとの違いだ。

公式下に凸の最大は定義域の端。軸が定義域の中央より左なら右端、右なら左端で最大

平方完成する。

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 = (x - a)^{2} - a^{2} + 2$

頂点 $(a, - a^{2} + 2)$ 、軸 $x = a$ 、下に凸。定義域 $0 \leq x \leq 6$ 固定。下に凸の放物線は、定義域の端で最大になる。両端の値を比べる。

$f (0) = 2, f (6) = 36 - 12 a + 2 = - 12 a + 38$

どちらが大きいかは、軸 $x = a$ が定義域の中央 $x = 3$ のどちら側にあるかで決まる。

① 軸が中央より左( $a < 3$ )

[1] a < 3(例: a = 2)— 軸が中央 x = 3 より左 → 遠い右端 x = 6 で最大

軸から遠いほうの右端が高い。最大は $x = 6$ 。

$f (6) = - 12 a + 38 (x = 6)$

② 軸が中央( $a = 3$ )

[2] a = 3 — 両端が軸から等距離 → x = 0, 6 の両方で最大

両端が同じ高さ。最大は

$2 (x = 0 と x = 6)$

(このとき $f (6) = - 12 \times 3 + 38 = 2 = f (0)$ 。)

③ 軸が中央より右( $a > 3$ )

[3] a > 3(例: a = 4)— 軸が中央より右 → 遠い左端 x = 0 で最大

軸から遠いほうの左端が高い。最大は $x = 0$ 。

$f (0) = 2 (x = 0)$

まとめ:下に凸の最大は『軸から遠いほうの端』でとる。境目は定義域の中央 $x = 3$ 。最小(頂点でとる)とは場合分けの基準が違うので注意しよう。

発展 — 一歩先へ。 最小値は「軸が定義域に入るか」で3分割、最大値は「軸が中央より左か右か」で3分割。境目の位置が違う理由まで言えれば、この型は完成だ。

最大と最小を同時に問う問題では、2種類の境目( $0, 2$ と中央)が混ざって場合分けが増える。それでも「近い者が最小・遠い者が最大」の物差し1本で全部さばける。

答

$a < 3$ のとき最大値 $- 12 a + 38$ ( $x = 6$ )、 $a = 3$ のとき最大値 $2$ ( $x = 0, 6$ )、 $a > 3$ のとき最大値 $2$ ( $x = 0$ )

最小値の問題と対にして、1行の原理で覚える方法がある。「下に凸の値は、軸から遠いほど大きい」。

最小は「軸に一番近い点」、最大は「軸から一番遠い点」がとる。これだけだ。

定義域 $0 \leq x \leq 6$ で軸 $x = a$ から一番遠い点は、両端 $0$ と $6$ のどちらか。遠さ比べ $∣0 - a ∣$ 対 $∣6 - a ∣$ の勝敗は、 $a$ が中央 $3$ より左か右かで決まる。

最小値の3場合分けと最大値の3場合分けが、「近い者・遠い者」という同じ物差しの裏表だと分かれば、2つの型を別々に暗記する必要はなくなる。