和が一定のもとでの平方和の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字が2つ、条件(等式)が1つ — なら1文字消去で1変数の問題に落とすのが第一手だ。

$y=2-x$ を代入すると $x^2+y^2=2x^2-4x+4$、$x$ の2次関数になる。

見落としやすいのは $x$ の範囲。$x\ge 0$ と $y=2-x\ge 0$ から $0\le x\le 2$ — 閉区間つきの2次関数の最大最小として、頂点と両端を見比べる。

① $1$ 文字消去。 $y=2-x$ を代入すると $$x^2+y^2=x^2+(2-x{)}^2=2x^2-4x+4=2(x-1{)}^2+2.$$ ② $x$ の範囲。 $x\ge 0$ かつ $y=2-x\ge 0$($x\le 2$)より $0\le x\le 2$。

③ 最大・最小。 $2(x-1{)}^2+2$ は下に凸で頂点 $x=1$。

• 最小:頂点 $x=1$ で $2$($x=y=1$)。
• 最大:頂点から最も遠い端 $x=0$ または $x=2$ で $2(1{)}^2+2=4$($(x,y)=(0,2)$ または $(2,0)$)。

まとめ $x+y=2$ で消去して $x^2+y^2=2(x-1{)}^2+2$($0\le x\le 2$)。最小 $2$(中央)、最大 $4$(端)。$2$ 次関数と条件・領域の融合。

発展 — 一歩先へ。 最小値 $2$ はコーシー・シュワルツ $(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$ からも $x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2}=2$ と出る(等号 $x=y=1$)。「線分上の距離の最小=垂線」「対称な式の最小=均等配分」「CS の等号=比例」— 3つの言い方がすべて同じ点 $(1,1)$ を指すのは偶然ではなく、対称性が最適を決めている。

別解

原点からの距離と見る(幾何の一撃)。 $x^2+y^2$ は「点 $(x,y)$ の原点からの距離の2乗」。点 $(x,y)$ は、直線 $x+y=2$ のうち第1象限の部分(両端 $(2,0),(0,2)$ の線分)を動く。

• 最小: 原点から線分への最短距離 — 垂線の足($(1,1)$、線分上にある ✓)で、距離は $\frac{|0+0-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。よって最小値 $(\sqrt{2}{)}^2=2$。
• 最大: 線分の端が原点から最も遠い。$(2,0)$ も $(0,2)$ も距離 $2$ で、最大値 $4$。

1文字消去(本解)は計算の直進、距離の読み替えは「なぜ真ん中で最小・端で最大か」が図で見える道。$x^2+y^2$ を見たら距離、$x+y$ を見たら直線 — 式の図形的な意味の辞書は、対称式の最大最小で繰り返し役に立つ。