数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

定義域のある2次関数の最大・最小

★★ 標準最大・最小定義域

問題

2次関数 $y = x^{2} - 6 x + 4$ について、次の各定義域における最大値と最小値を求めよ。

(1) $1 \leq x \leq 6$

(2) $4 \leq x \leq 5$

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頂点を出したら、定義域に頂点が入るかで場合が変わる。範囲内なら頂点で最小(下に凸のとき)、範囲外なら単調。端は軸から遠いほうが最大。

解答・解説

平方完成して頂点 $(3, - 5)$ を求め、放物線をかく。あとは定義域ごとに、範囲の中でグラフを読む。

(1)は頂点が範囲内。(2)は頂点が範囲の外(左)。頂点が外なら範囲内で単調で、端で最大・最小になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 同じ関数でも、定義域が違えば最大・最小は変わる。

だから最初のチェック項目は「頂点が範囲に入っているか」だ。

入っていれば、下に凸なら頂点が最小。入っていなければ、範囲内でグラフは単調(上りか下りの一方通行)なので、端だけ見ればよい。定義域つきの最大最小は、この1つの確認から始まる。

公式定義域つき最大・最小:頂点が定義域内なら頂点で(下に凸なら最小)、外なら単調。端は軸から遠いほうが最大

平方完成する。

$y = x^{2} - 6 x + 4 = (x - 3)^{2} - 9 + 4 = (x - 3)^{2} - 5$

頂点 $(3, - 5)$ 、下に凸。

(1)

(1) 1 ≤ x ≤ 6 — 軸 x = 3 が定義域内

定義域 $1 \leq x \leq 6$ に頂点 $x = 3$ が入る。下に凸なので頂点で最小 → $x = 3$ で最小値 $- 5$ 。最大は端。

$x = 1 のとき y = 1 - 6 + 4 = - 1, x = 6 のとき y = 36 - 36 + 4 = 4$

大きいのは $x = 6$ の4。だから $x = 6$ で最大値4。

(2)

(2) 4 ≤ x ≤ 5 — 軸 x = 3 は定義域の左外(増加区間)

定義域 $4 \leq x \leq 5$ は、頂点 $x = 3$ より右にある(頂点は範囲外)。範囲内ではグラフは右上がり(単調増加)なので、左端で最小、右端で最大。

$x = 4 のとき y = 16 - 24 + 4 = - 4, x = 5 のとき y = 25 - 30 + 4 = - 1$

だから $x = 4$ で最小値 $- 4$ 、 $x = 5$ で最大値 $- 1$ 。

まとめ:頂点が範囲の中か外かで、最大・最小の場所が変わる。外なら単調(端で決まる)、中なら頂点も候補。

発展 — 一歩先へ。 「頂点が範囲の中か外か」で景色が変わる。この1点が、次の段階(軸が動く問題・定義域の端が動く問題)の場合分けの正体だ。

文字が入って軸や端が動いても、やることは今日と同じ「頂点in/outの判定」である。固定の問題で判定の感覚を作っておくと、場合分けが「絵の切り替え」として自然に見えてくる。

答

(1) 最大値 $4$ ( $x = 6$ )、最小値 $- 5$ ( $x = 3$ ) (2) 最大値 $- 1$ ( $x = 5$ )、最小値 $- 4$ ( $x = 4$ )

「候補の値をぜんぶ表にして比べる」やり方も確実だ。

最大・最小の候補になれるのは、頂点(範囲内にあるとき)と両端しかない。だから候補の値を並べて選ぶだけでいい。

(1) 範囲 $1 \leq x \leq 6$ 。頂点 $x = 3$ は範囲内。候補は $f (1) = - 1$ 、 $f (3) = - 5$ 、 $f (6) = 4$ 。最大は $4$ 、最小は $- 5$ 。

(2) 範囲 $4 \leq x \leq 5$ 。頂点 $x = 3$ は範囲外なので候補から外れ、 $f (4) = - 4$ 、 $f (5) = - 1$ の2つだけ。最大は $- 1$ 、最小は $- 4$ 。

表で選ぶだけなら間違えようがない。ただし「頂点が範囲内か」の判定だけはグラフの想像が必要で、ここを飛ばすと(2)で $- 5$ を拾う事故が起きる。表とグラフ、両方をセットで使うのが安全だ。