2次関数のグラフと最大・最小の解説

2次関数は、高校数学で最初に「場合分け」という考え方に本格的に出会う単元です。中学で学んだ放物線に、文字の係数・定義域・動く軸が加わることで、問題の見た目は一気に難しくなります。ただ、やることの中身はそれほど多くありません。この記事では、この単元で身につけるべき技術を順番に整理し、どこでつまずきやすいか、どの問題から手をつければよいかを説明します。

この単元でできるようになること

まず、2次関数のすべての問題の出発点は平方完成です。$y=a{x}^2+bx+c$ を $y=a(x-p{)}^2+q$ の形に直すと、頂点 $(p,q)$ と軸 $x=p$ が読めます。この単元の問題は、最終的にはほぼすべて「頂点がどこにあるか」「軸が定義域のどちら側にあるか」を調べる問題に帰着します。

次に、グラフの移動です。平行移動は頂点の移動として、対称移動は符号の反転として扱います。式の変形で覚えるより、頂点がどこへ動くかを図でたどるほうが確実です。

3つ目が最大・最小で、この単元の中心です。定義域が固定されているなら、頂点が定義域の中にあるかどうかを見るだけで済みます。軸や定義域に文字が入ると、その位置関係で場合を分けることになります。

4つ目は2次関数の決定です。頂点の条件が与えられれば $a(x-p{)}^2+q$ から、3点を通る条件なら $a{x}^2+bx+c$ に代入した連立方程式から求めます。どちらの形で置くかを問題文から判断するのがこの型のポイントです。

つまずきやすいところ

この単元で最も多い失点は、軸が動く問題の場合分けです。たとえば $y=(x-a{)}^2+1$ の $0\le x\le 2$ における最小値を求めるとき、軸 $x=a$ が定義域の左にあるか、中にあるか、右にあるかで、最小値をとる位置が変わります。「なぜ3つに分けるのか」がわからないまま手順だけ真似すると、境界の値($a=0$ や $a=2$)をどちらに含めるかで迷い、最大値の問題(2つに分かれる)と混同します。

対策は、まず軸が固定された問題で「頂点が定義域の中にある・ない」を図で判断する練習を十分にすることです。基礎の定義域があるときの最大・最小といろいろな定義域での最大・最小で、放物線の一部を切り取る感覚をつかんでから、軸が動く場合の最小値に進んでください。標準の軸が動く場合の最小値(場合分け)と最大値(場合分け)を並べて解くと、最小値は3通り・最大値は2通りに分かれる理由が図で見えます。

もう1つのつまずきは、置き換えです。$t=x^2$ や $t=x+\frac{1}{x}$ のように置いたとき、$t$ の動く範囲を求め忘れると、存在しない値で最小値を答えてしまいます。置き換えによる最小値から始めて、応用の置き換えによる最小値(tの範囲に注意)で範囲の確認を習慣にしてください。

学習の順序

平方完成が不安な人は、平方完成の基本と標準の係数が1でない場合を先に済ませてください。ここが速く正確にできるかどうかで、後の問題にかかる時間が2倍以上変わります。

そのあとは、基礎12問を上から順に解くのがおすすめです。基礎は「頂点と軸」「移動」「最大・最小」「関数の決定」「文章題」「置き換え」と、この単元の型を一通り並べてあります。標準12問は基礎と同じ型を、係数や条件を少し複雑にして繰り返す構成です。基礎で止まった型があれば、標準の同じ型で確認できます。

応用8問からは、場合分けした結果をさらに扱う問題が入ります。軸が動く最小値 m(a) と、その最大値は、場合分けで求めた最小値 $m(a)$ 自体を $a$ の関数とみて最大値を求める問題で、入試の定番です。条件式のある2変数関数の最大・最小は、1文字を消去して2次関数に帰着させる型で、数学IIの領域の問題にもつながります。

定期テストと入試での出方

定期テストでは、平方完成・移動・定義域つきの最大最小・2次関数の決定が中心で、軸が動く場合分けが最後の大問になることが多いです。基礎と標準の24問を2周すれば、出題の型はほぼ網羅できます。

入試では、2次関数が単独で出ることは少なく、三角関数や指数関数を置き換えて2次関数に落とす問題(実戦編の三角関数を置きかえた2次関数の最大・最小)や、放物線と直線の位置関係(実戦編の放物線と直線が接する条件)として現れます。難関(★★★★)以上には、最大値を最小にする(ミニマックス)や絶対値つき2次関数の最大値のように、場合分けの結果をもう一段扱う問題を集めてあります。

場合分けの答案の書き方

この単元は、記述答案で「場合分けの書き方」を初めて採点される単元でもあります。書き方の型を決めておくと、テストで迷いません。

まず、場合分けの基準を1行で宣言します。「軸 $x=a$ と定義域 $0\le x\le 2$ の位置関係で分ける」のように書きます。次に、各場合の範囲を見出しにして、その場合のグラフの様子(どこで最小になるか)を一言で述べてから値を計算します。「$a<0$ のとき、定義域で $f(x)$ は増加するから、最小値は $f(0)=3$」という順序です。最後に「以上より」で3つの結果を並べ、境界の値がどちらに含まれているかが読み取れる形にします。

境界の値($a=0$、$a=2$)は、隣り合う場合のどちらに入れても答えは一致します(両方の式が同じ値を与えるからです)。ただし、答案では必ずどちらか一方に含め、両方に含めたり、どちらにも含めなかったりしないでください。採点では、この境界の処理を見ています。

グラフは答案の一部として描きます。3つの場合それぞれについて、放物線・軸・定義域の範囲を示した小さな図を添えると、場合分けの根拠が伝わります。このサイトの解説では、場合ごとに1枚ずつ図を付けてあるので、その描き方をそのまま答案に使ってください。

次の単元へ

2次関数の次は、2次方程式・2次不等式です。判別式やグラフと $x$ 軸の共有点は、この単元の頂点の $y$ 座標の符号と同じことを別の言葉で言っているだけなので、平方完成が身についていればすぐに入れます。逆に、そちらで解の配置問題に詰まったら、この単元の「軸と定義域の位置関係」に戻ってください。