数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

頂点と通る点から2次関数を決める

実戦編2次関数決定頂点単元横断

問題

頂点が $(1, - 2)$ で、点 $(3, 6)$ を通る $2$ 次関数を求めよ。

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頂点 $(1, - 2)$ から $y = a (x - 1)^{2} - 2$ 。点 $(3, 6)$ を代入して $a$ を求める。

解答・解説

方針

頂点が与えられているので、頂点形 $y = a (x - p)^{2} + q$ を使う。通る点を代入して $a$ を決める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2次関数の式には3つの衣装がある: 一般形 $a x^{2} + b x + c$ 、頂点形 $a (x - p)^{2} + q$ 、因数分解形。与えられた情報の形に合った衣装を選ぶ。

本問は「頂点」が与えられている — 迷わず頂点形 $y = a (x - 1)^{2} - 2$ とおく。未知数は $a$ の1個だけ。

通る点 $(3, 6)$ を代入すれば、 $a$ が1本の方程式で決まる。

公式頂点

(p, q)

の

2

次関数は

y = a (x - p)^{2} + q

① 頂点形でおく。 頂点 $(1, - 2)$ より $y = a (x - 1)^{2} - 2.$ ② 通る点を代入。 $(3, 6)$ を代入すると $6 = a (3 - 1)^{2} - 2 = 4 a - 2 ⟹ 4 a = 8 ⟹ a = 2.$ ③ 結論。 $y = 2 (x - 1)^{2} - 2 (= 2 x^{2} - 4 x) .$

頂点(1,−2)、点(3,6)を通る → y=2(x−1)²−2

まとめ 頂点が分かれば頂点形 $y = a (x - 1)^{2} - 2$ 、通る点で $a = 2$ 。 $y = 2 (x - 1)^{2} - 2$ 。 $2$ 次関数の決定は「与えられた情報に合う形」を選ぶのが要。

発展 — 一歩先へ。 2次関数は係数3つで決まる=独立な条件3本で決まる。「頂点」は座標2つ分の情報(軸と頂点の高さ)なので、あと1点で確定 — 未知数の勘定が合っている。「3点を通る」なら一般形で3本の連立、「 $x$ 軸との交点2つ+1点」なら因数分解形 $y = a (x - α) (x - β)$ — 情報の形と式の衣装の対応表を持つと、決定問題は迷わない。

答

頂点形 $y = a (x - 1)^{2} - 2$ とおき、 $(3, 6)$ を代入。 $6 = 4 a - 2$ より $a = 2$ 。 $y = 2 (x - 1)^{2} - 2$ 。

別解

一般形でも解ける(連立の機械ルート)。 頂点形を思いつかなくても、 $y = a x^{2} + b x + c$ とおいて条件を式にすれば解ける。

軸が $x = 1$ : $- \frac{b}{2 a} = 1$ 、つまり $b = - 2 a$
頂点の $y$ 座標が $- 2$ : $f (1) = a + b + c = - 2$
$(3, 6)$ を通る: $9 a + 3 b + c = 6$

$b = - 2 a$ を代入して連立を解くと $a = 2, b = - 4, c = 0$ — $y = 2 x^{2} - 4 x = 2 (x - 1)^{2} - 2$ で本解と一致。

未知数3個の連立(本ルート)と、未知数1個の代入(本解)。情報が「頂点」の形で来ているときに頂点形を選ぶと、計算量が3分の1になる — 式の衣装選びが計算量を決めることを、2つの道の比較が教えてくれる。

ポイント

頂点が分かれば頂点形 $y = a (x - p)^{2} + q$ 。
頂点 $(1, - 2)$ で $y = a (x - 1)^{2} - 2$ 。
$(3, 6)$ 代入で $a = 2$ 、 $y = 2 (x - 1)^{2} - 2$ 。

よくある間違い

頂点形の符号を $y = a (x + 1)^{2} - 2$ とする(頂点 $(p, q)$ なら $(x - p)$ 。 $p = 1$ の符号に注意)。
$(3, 6)$ の代入で $(3 - 1)^{2} = 4$ を $2$ とするなどの計算ミス( $6 = 4 a - 2$ が正しい式)。
求めた式の検算(頂点と通る点の両方を再代入)を飛ばす。