数学I / 2次関数のグラフと最大・最小

グラフの対称移動

★★ 標準対称移動

問題

放物線 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ を、次の直線または点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(1) $x$ 軸

(2) $y$ 軸

(3) 原点

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$x$ 軸 → $y$ を $- y$ 、 $y$ 軸 → $x$ を $- x$ 、原点 → 両方。置きかえて整理。頂点や凸の向きの変化で答えを確認できる。

解答・解説

対称移動の置きかえ。 $x$ 軸 → $y$ を $- y$ 、 $y$ 軸 → $x$ を $- x$ 、原点 → 両方。置きかえて $y =$ の形に整理する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対称移動は、グラフ上の点の行き先で考える。

$x$ 軸対称なら $y$ の符号が反転する。 $y$ 軸対称なら $x$ の符号が反転する。原点対称なら両方だ。

式の上では、 $y$ を $- y$ に、 $x$ を $- x$ に置きかえる操作になる。置きかえたあと「 $y =$ 」の形に整理し直すところまでが1セットだ。

公式対称移動:

x

軸 →

y \to - y

、

y

軸 →

x \to - x

、原点 → 両方

y = 2(x−1)² + 3(元)と x 軸・y 軸・原点に関する対称移動

もとは $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ 。

(1) $x$ 軸対称は $y \to - y$ 。

$- y = 2 x^{2} - 4 x + 5$

$y =$ の形にして

$y = - 2 x^{2} + 4 x - 5$

(2) $y$ 軸対称は $x \to - x$ 。

$y = 2 (- x)^{2} - 4 (- x) + 5 = 2 x^{2} + 4 x + 5$

(3) 原点対称は両方。 $x \to - x$ 、 $y \to - y$ 。

$- y = 2 (- x)^{2} - 4 (- x) + 5 = 2 x^{2} + 4 x + 5$

$y =$ の形にして

$y = - 2 x^{2} - 4 x - 5$

まとめ: $x$ 軸なら $y$ 、 $y$ 軸なら $x$ 、原点なら両方を $-$ にする。基本の対称移動と同じで、係数が2に変わっただけだ。

発展 — 一歩先へ。 置きかえ規則( $x$ 軸対称は $y \to - y$ など)は、放物線に限らずどんな曲線にも通用する。数学IIの円や、指数・対数のグラフでも同じだ。

さらに先には「 $y$ 軸対称なグラフを持つ関数(偶関数)」「原点対称な関数(奇関数)」という分類が待っている。今日の3つの対称移動は、その入り口になっている。

答

(1) $y = - 2 x^{2} + 4 x - 5$ (2) $y = 2 x^{2} + 4 x + 5$ (3) $y = - 2 x^{2} - 4 x - 5$

頂点の行き先で組み立てる方法もある。移動後の放物線は「頂点」と「開き具合(凸の向き)」で決まるからだ。

元の式を平方完成すると $y = 2 (x - 1)^{2} + 3$ 。頂点は $(1, 3)$ 、下に凸( $a = 2$ )。

$x$ 軸対称: 頂点は $(1, - 3)$ へ。上下が裏返るから上に凸( $a = - 2$ )。式は $y = - 2 (x - 1)^{2} - 3$ 。
$y$ 軸対称: 頂点は $(- 1, 3)$ へ。左右の反転では凸の向きは変わらない( $a = 2$ )。式は $y = 2 (x + 1)^{2} + 3$ 。
原点対称: 頂点は $(- 1, - 3)$ へ、凸も反転( $a = - 2$ )。式は $y = - 2 (x + 1)^{2} - 3$ 。

展開すれば置きかえルートと同じ答えになる。「どの点がどこへ行き、向きがどうなるか」を絵で追えるので、符号の意味が腑に落ちやすい。