軸が動く2次関数の最大値と最小値(両方の場合分け)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず平方完成。$f(x)=(x-a{)}^2+2-a^2$ で、軸は $x=a$、頂点の高さは $2-a^2$。軸 $a$ が動くので、定義域 $[0,2]$ との位置関係で場合分けする。

最小値は「軸が定義域の左・中・右」の $3$ 場合。軸が区間内なら頂点で最小、外なら近い端で最小。

最大値は考え方が違う。下に凸の放物線は、区間内で「軸から最も遠い端」で最大になる。軸が区間の中点 $x=1$ の左か右かで、遠い端($x=2$ か $x=0$)が入れ替わる — だから $2$ 場合だ。

① 平方完成する。 $f(x)=(x-a{)}^2+2-a^2$。軸は $x=a$、頂点の $y$ 座標は $2-a^2$。

② 最小値 $m(a)$(軸の位置で $3$ 場合)。

• $a<0$(軸が左外):区間で増加、最小は左端 $f(0)=2$。
• $0\le a\le 2$(軸が内):最小は頂点 $f(a)=2-a^2$。
• $a>2$(軸が右外):区間で減少、最小は右端 $f(2)=6-4a$。

③ 最大値 $M(a)$(中点 $x=1$ が境目)。 最大は軸 $x=a$ から遠いほうの端点。端 $0$ までの距離 $a$、端 $2$ までの距離 $2-a$ を比べる。

• $a<1$:$2-a>a$ で $x=2$ が遠い。$M(a)=f(2)=6-4a$。
• $a\ge 1$:$a\ge 2-a$ で $x=0$ が遠い(等号は同点)。$M(a)=f(0)=2$。

まとめ:軸が動く最大最小は「最小=近い側で $3$ 場合、最大=遠い側で $2$ 場合」と、境目が別々になるのがポイント。最小の境目は定義域の両端、最大の境目は定義域の中点。混同すると場合分けを取り違える。

発展 — 一歩先へ。 「軸が動く $2$ 次関数の最大最小」は、最小が $3$ 場合(軸が左・中・右)、最大が $2$ 場合(軸が中点の左・右)と決まっている。定義域が $[p,q]$ なら、$\min$ の境界は $a=p,q$、$\max$ の境界は $a=\frac{p+q}{2}$(中点)。この“$3$ と $2$”の型を覚えると、どんな係数でも即座に場合分けが書ける。

別解

別解 — 最大は「軸から遠い端」で機械的に決める(得意な人向けの視点)。 下に凸の放物線は、区間内で頂点から離れるほど値が大きい。だから最大は「軸 $x=a$ から最も遠い端」で起こる。

区間 $[0,2]$ の端は $0$ と $2$。軸 $a$ から遠いのはどちらか。両端の中点は $x=1$ だから、$a<1$ なら遠い端は $x=2$、$a>1$ なら $x=0$。

• $a<1$: 最大は $f(2)=4-4a+2=6-4a$。
• $a>1$: 最大は $f(0)=2$。
• $a=1$: 両端が等距離で $f(0)=f(2)=2$。

$$M(a)=\{\begin{array}{ll}6-4a& (a<1)\\ 2& (a\ge 1)\end{array}$$

グラフを毎回描く代わりに、「最大は軸から遠い端」「その境目は区間の中点」と覚えると、$2$ 場合が即座に書ける。最小の $3$ 場合(軸が左・中・右)とセットで、下に凸の最大最小はこの $2$ つの原則で尽きる。