最大値を最小にする(ミニマックス)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $-1\le x\le 1$ で $x^2$ が動く範囲を先に押さえる。$t=x^2$ とおくと $0\le t\le 1$。すると $|x^2-c|=|t-c|$ で、$t$ の $1$ 次(絶対値)の問題になる。

$|t-c|$ を $0\le t\le 1$ で最大にするのは、区間の端 $t=0$ か $t=1$。だから最大値 $g(c)=\max (|c|,|1-c|)$。

$g(c)$ を最小にしたい(ミニマックス)。$2$ つの候補 $|c|$ と $|1-c|$ の大きい方が全体だから、$2$ つが等しくなる $c$ で最小。$|c|=|1-c|$ から $c=\frac{1}{2}$、そのとき $g=\frac{1}{2}$。

① 置きかえる。 $-1\le x\le 1$ のとき $t=x^2$ は $0\le t\le 1$ を動く(端 $x=\pm 1$ で $t=1$、$x=0$ で $t=0$)。求めるのは $|t-c|$ の $0\le t\le 1$ での最大 $g(c)$。

② 最大を端で表す。 $|t-c|$ は $t$ の $1$ 次(折れ線)なので、最大は区間の端。

$$g(c)=\max (|0-c|,|1-c|)=\max (|c|,|1-c|)$$

③ つり合わせる。 $2$ つの折れ線 $|c|$ と $|1-c|$ の大きいほうを最小にするのは、両者が交わる(等しくなる)ところ。$|c|=|1-c|$ より $c=\frac{1}{2}$。このとき $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

まとめ:「最大を最小にする」は、動く量を端に集約し、端での値をつり合わせる。$c=\frac{1}{2}$ は区間 $[0,1]$ のちょうど中央で、$t=0$ と $t=1$ からの距離が等しくなる点。中央に置くと最大のずれが最小になる、という自然な結論。

発展 — 一歩先へ。 「最大値を最小にする(ミニマックス)」の答えは、$2$ つの候補が等しくなる点で釣り合う。これは近似理論の心臓部で、区間で関数を多項式で近似するとき「最大誤差を最小にする」最良近似(チェビシェフ近似)は、誤差の山と谷が同じ高さで交互に並ぶ。$c=\frac{1}{2}$ で $|c|=|1-c|$ が釣り合うのは、その最も簡単な例だ。

別解

別解 — 放物線 $y=x^2$ を水平線 $y=c$ で挟む絵で見る(視覚で納得するルート)。 $|x^2-c|$ は、放物線 $y=x^2$ と水平線 $y=c$ の“縦の隔たり”。$-1\le x\le 1$ でこの隔たりが最も大きくなる場所を探し、それを最小にする $c$ を選ぶ。

$y=x^2$ は $x\in [-1,1]$ で $0$(中央 $x=0$)から $1$(両端 $x=\pm 1$)まで動く。水平線 $y=c$ からの隔たりが最大なのは、放物線の“下端 $0$”か“上端 $1$”のどちらか遠い方。すなわち $\max (|c-0|,|c-1|)=\max (|c|,|1-c|)$。

この最大を最小にするには、水平線 $y=c$ を $0$ と $1$ のちょうど真ん中 $c=\frac{1}{2}$ に置く。すると上下どちらへの隔たりも $\frac{1}{2}$ で釣り合い、最大の隔たりが最小の $\frac{1}{2}$ になる。

$t=x^2$ で $1$ 変数化する(本解)のと同じだが、「放物線と水平線の隙間を最小にする=真ん中に線を引く」という絵で見ると、ミニマックスの心(最悪を最小に=釣り合わせる)が直感的につかめる。