平面ベクトル — 内積・位置ベクトル・ベクトル方程式

ベクトル $\vec{a}=(3,4)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$ のとき、$2\vec{a}-\vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,4)$ のとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を求めよ。

$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=3$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^{\circ }$ のとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(1,1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(4,k)$ が平行であるとき、定数 $k$ を求めよ。

$\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(3,k)$ が垂直であるとき、定数 $k$ を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(4,8)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

$\vec{a}=(3,4)$ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

$3$ 点 $\mathrm{A}(1,1)$、$\mathrm{B}(4,2)$、$\mathrm{C}(1,3)$ を頂点とする三角形の重心 $\mathrm{G}$ の座標を求めよ。

ベクトル $\vec{a}=(-3,4)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,\sqrt{3})$、$\vec{b}=(\sqrt{3},1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(1,3)$ とする。$\vec{c}=(4,5)$ を $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の形に表せ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,4)$ のとき、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ を、内積の性質を用いて求めよ。

$3$ 点 $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(3,1)$、$\mathrm{C}(1,2)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(7,8)$ について、線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{P}$ と、$2:1$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(1,1)$ とする。$t$ が実数全体を動くとき、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ を最小にする $t$ の値を求めよ。

$\vec{a}=(3,4)$ に垂直な単位ベクトルを求めよ。

点 $\mathrm{A}(1,2)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{d}=(3,1)$ である直線上の点 $\mathrm{P}$ を、媒介変数 $t$ を用いて表せ。また $t=1$ に対応する点の座標を求めよ。

$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=1$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ のとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を求めよ。

$\vec{a}=(2,-1)$ とする。$\vec{b}=(4,-2)$ と $\vec{c}=(1,2)$ について、$\vec{a}$ と平行なのはどちらか、$\vec{a}$ と垂直なのはどちらかを答えよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(2,3)$、$\mathrm{B}(8,6)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

$|\vec{a}|=|\vec{b}|$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であることを示せ。

$3$ 点 $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(4,0)$、$\mathrm{C}(0,3)$ を頂点とする三角形の重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルを求め、座標で表せ。

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(1,2)$ とする。$t$ が実数全体を動くとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値を求めよ。

$|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=1$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角を求めよ。

$\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(1,2)$ とする。$\vec{c}=(5,4)$ を $s\vec{a}+t\vec{b}$ の形に表せ。

$3$ 点 $\mathrm{A}(1,1)$、$\mathrm{B}(4,2)$、$\mathrm{C}(2,5)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。

原点 $\mathrm{O}$ を通り方向ベクトルが $\vec{d}=(1,2)$ である直線と、点 $\mathrm{P}(3,1)$ との距離を求めよ。

中心 $\mathrm{C}(1,2)$、半径 $3$ の円について、点 $\mathrm{P}(4,2)$ がこの円上にあるかを、ベクトルを用いて確かめよ。

$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=3$ で、$\vec{a}$、$\vec{b}$ の向きが自由に変わるとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ の最大値と最小値を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とする。辺 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{M}$、辺 $\mathrm{OB}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{N}$ とする。線分 $\mathrm{AN}$ と $\mathrm{BM}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表せ。

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=2$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ のとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,-1)$ とする。$\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-t\vec{b}$ が垂直になるように、実数 $t$ の値を定めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。$s,t$ が $1\le s+t\le 2$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ を満たしながら動くとき、点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を図示せよ。

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,4)$ のとき、三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。

$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3$、$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=5$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=6$ のとき、三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(5,4)$ を直径の両端とする円について、そのベクトル方程式を $(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$ の形で表す考え方を用いて、円の中心と半径を求めよ。

$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=1$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$ とする。$t$ を実数とするとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値を求めよ。また、最小になるとき $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{b}$ の関係を述べよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心 $\mathrm{I}$ の位置ベクトルは、$3$ 辺の長さ $a=\mathrm{BC},b=\mathrm{CA},c=\mathrm{AB}$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}$ と表されることを示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$、重心を $\mathrm{G}$、垂心を $\mathrm{H}$ とする。$\mathrm{O}$ を始点にとると $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ が成り立つことを示し、$\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ が一直線上にあること($\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$)を示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ に対し、点 $\mathrm{P}$ が動くとき ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$ を最小にする点 $\mathrm{P}$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ に対し、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。実数 $s,t$ が $s\ge 0,t\ge 0,1\le s+t\le 2$ を満たしながら動くとき、点 $\mathrm{P}$ の存在する範囲を求め、その面積を三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ で表せ。

$|\vec{a}|=5$ とし、$\vec{p}$ が $|\vec{p}|=2$ を満たしながら動くとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{p}$ の最大値と最小値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm{P}$ が $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{0}$ を満たすとき、$3$ つの三角形 $△\mathrm{PBC},△\mathrm{PCA},△\mathrm{PAB}$ の面積比を求めよ。

三角形の $2$ 頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ と、辺 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$、および任意の点 $\mathrm{P}$ について、${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2$(中線定理)が成り立つことを、ベクトルを用いて示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm{P}$ に対し、直線 $\mathrm{AP},\mathrm{BP},\mathrm{CP}$ が対辺 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ と交わる点をそれぞれ $\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ とする。$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$(チェバの定理)を示せ。

$\vec{a},\vec{b}$ を平面上の零ベクトルでないベクトルとする。

(1) すべての実数 $t$ について $|\vec{a}-t\vec{b}{|}^2\ge 0$ が成り立つことを用いて、不等式 $(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2\le |\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$ を示せ。

(2) $\vec{a},\vec{b}$ が平行でないとき、$\vec{a},\vec{b}$ の張る三角形の面積が $S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ で与えられることを示せ。さらに $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$ のとき $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ を導け。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とし、$|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ とする。外心を $\mathrm{P}$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおくとき、$s,t$ の値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ と点 $\mathrm{P}$ が

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$$

を満たすとする。

(1) $\mathrm{P}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心であることを示せ。

(2) $\mathrm{A}(0,3),\mathrm{B}(-1,0),\mathrm{C}(2,0)$ のとき、この条件を満たす点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

$\vec{a}=(2,1),\vec{b}=(1,3)$ とする。実数 $x,y$ が $|x|+|y|\le 1$ を満たしながら動くとき、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\vec{a}+y\vec{b}$ で定まる点 $\mathrm{P}$ の動く領域の面積を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(-2,0),\mathrm{B}(2,0)$ に対し、$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=5$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

平面上のベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が $|\vec{a}+\vec{b}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ を満たす。

(1) $\vec{a}\cdot \vec{b}$ と $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ の値を求めよ。

(2) $|\vec{a}||\vec{b}|$ のとりうる値の範囲を求めよ。

原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径1の円周上に3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ があり、

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{0}$$

を満たすとする。三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形であることを示せ。

2点 $\mathrm{A}(0,2),\mathrm{B}(4,4)$ と、$x$ 軸上を動く点 $\mathrm{P}$ に対し、${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$ の最小値と、そのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。