telvia演習ラボ

数学C

平面ベクトル 内積・位置ベクトル・ベクトル方程式

ベクトルの演算と成分、内積、位置ベクトルによる図形の扱い、ベクトル方程式を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. ベクトルの大きさ
  2. ベクトルの和
  3. ベクトルの実数倍と差
  4. 内積(成分)
  5. 内積(定義)
  6. なす角
  7. 平行条件
  8. 垂直条件
  9. 内分点の位置ベクトル
  10. 単位ベクトル
  11. 三角形の重心
  12. ベクトルの大きさ(負の成分)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. なす角の計算
  2. ベクトルの分解
  3. 内積とベクトルの大きさ
  4. 三角形の面積(座標)
  5. 内分点と外分点
  6. ベクトルの大きさの最小
  7. 垂直な単位ベクトル
  8. 直線のベクトル方程式
  9. 内積からなす角の条件
  10. 平行・垂直の判定
  11. 位置ベクトルと分点
  12. 内積を用いた垂直の証明

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 三角形の重心(ベクトル)
  2. ベクトルの大きさの最小値
  3. 内積となす角(条件から)
  4. 1次結合による分解
  5. 三角形の面積(ベクトル)
  6. 点と直線の距離(ベクトル)
  7. 円のベクトル方程式
  8. 内積の最大・最小

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 交点の位置ベクトル
  2. 大きさの条件から内積・なす角
  3. 垂直条件からtを求める
  4. 点Pの存在範囲
  5. 三角形の面積(成分)
  6. 内積から三角形の面積
  7. 円のベクトル方程式(直径の両端)
  8. |a+tb|の最小と垂直

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 三角形の内心の位置ベクトル
  2. 重心・外心・垂心は一直線(オイラー線)
  3. 距離の2乗の和を最小にする点(重心)
  4. 係数の条件と点の存在範囲
  5. 円上を動く点との内積の最大・最小
  6. 内部の点と三角形の面積比(重心座標)
  7. 中線定理をベクトルで示す
  8. チェバの定理(面積比で示す)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 面積公式の証明(コーシー・シュワルツ)
  2. 外心を1次結合で表す
  3. 内積が等しい点は垂心
  4. 斜交座標の領域の面積
  5. 内積が一定な点の軌跡
  6. 和と差の大きさから積の範囲へ
  7. 単位円上の3点の和が零ベクトルなら正三角形
  8. 直線上の点への距離の平方和の最小

平面ベクトルの解説(つまずきやすい点と学習の順序)