距離の2乗の和を最小にする点(重心)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 動く点 $\mathrm{P}$ をどこかの固定点を基準に書きたい。重心 $\mathrm{G}$ を経由するのが急所だ。

各ベクトルを $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PG}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ と分けて2乗和を展開する。すると交差項に $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}$ が現れるが、重心の性質でこれは $\vec{0}$。

だから和は「$3|\overrightarrow{\mathrm{PG}}{|}^2+$ 定数」の形。$|\overrightarrow{\mathrm{PG}}{|}^2$ が最小 $=0$、つまり $\mathrm{P}=\mathrm{G}$ のときに最小になる。

① 重心を中継して分ける。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PG}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ 等。$2$ 乗して足すと $$\sum {\mathrm{PA}}^2=\sum |\overrightarrow{\mathrm{PG}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}{|}^2=3|\overrightarrow{\mathrm{PG}}{|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{PG}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})+\sum |\overrightarrow{\mathrm{GA}}{|}^2.$$ ② 交差項が消える。 $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{0}$ だから中央の項は $0$。よって $${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2=3{\mathrm{PG}}^2+({\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2).$$ 第 $2$ 項は $\mathrm{P}$ によらない定数。

③ 最小。 $3{\mathrm{PG}}^2\ge 0$ で、最小 $0$ は $\mathrm{P}=\mathrm{G}$ のとき。よって ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$ は重心 $\mathrm{G}$ で最小。

まとめ 重心を中継して $2$ 乗和を展開すると、重心の性質 $\sum \overrightarrow{\mathrm{GA}}=\vec{0}$ で交差項が消え、$3{\mathrm{PG}}^2+$定数。最小は $\mathrm{P}=\mathrm{G}$。ベクトルと最大最小・重心の融合。

発展 — 一歩先へ。 最小値 ${\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$ は、三角形の“慣性モーメント”(重心まわりの回りにくさ)にあたる。物理では、質点系の運動エネルギーが「重心の運動」と「重心まわりの回転」に分かれる(ケーニッヒの定理)。$f(\mathrm{P})=3{\mathrm{PG}}^2+(\text{定数})$ の分解は、その数学的な原型だ。

別解

別解 — 平均からのばらつき(分散)として読む(得意な人向けの高い視点)。 $f(\mathrm{P})={\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$ は、統計の「平均からの散らばり(分散)」と同じ構造をもつ。

$3$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を“データ”とみると、その平均(=重心)$\mathrm{G}$ が「ばらつきを最小にする中心」。公式

$$f(\mathrm{P})=3{\mathrm{PG}}^2+({\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2)$$

は、統計でいう「$\sum (x_i-P{)}^2=n(\bar{x}-P{)}^2+\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$」(平方和の分解)そのもの。第1項が $\mathrm{P}=\mathrm{G}$ で $0$ になり、第2項(重心まわりの散らばり)は $\mathrm{P}$ によらない定数。

だから最小は $\mathrm{P}=\mathrm{G}$ で、最小値は ${\mathrm{GA}}^2+{\mathrm{GB}}^2+{\mathrm{GC}}^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$。ベクトルの計算(本解)が、「平均が最小二乗の中心」という統計の基本法則と同じものだったと分かる。