内積となす角(条件から)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なす角は「内積 ÷(大きさの積)」で出す。ここでは $\cos \theta =\frac{(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}|}$。

成分は与えられていない。だが $|\vec{a}|,|\vec{b}|,\vec{a}\cdot \vec{b}$ の $3$ つだけで、分子も分母も作れる。

内積の展開公式を使えば、成分なしでも角度が出せると見通す。

① 分子(内積)を求める。

$$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

② $|\vec{a}+\vec{b}|$ を求める。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=1+2\cdot \frac{1}{2}+1=3\Rightarrow |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$$

③ $\cos \theta$ を計算する。 $|\vec{a}|=1$。

$$\cos \theta =\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}\times 1}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

④ 角を求める。 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =30^{\circ }$。

まとめ:合成したベクトルのなす角も「内積 ÷(大きさの積)」。分子 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}$、分母 $|\vec{a}+\vec{b}|$ を、与えられた量から展開公式で組み立てる。$\frac{3}{2\sqrt{3}}$ を有理化すると $\frac{\sqrt{3}}{2}$、$30^{\circ }$ だ。

発展 — 一歩先へ。 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ だから、$\vec{a},\vec{b}$ を $2$ 辺とする平行四辺形は $4$ 辺の長さがすべて $1$ のひし形。ひし形の対角線は、頂点の角を二等分する。だから $\vec{a}+\vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角をちょうど半分に分ける。

もとの角は $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ から $60°$。その半分の $30°$ が答えになる。図形の性質と計算が一致する。

一般に、大きさの等しい $\vec{a},\vec{b}$ では $\vec{a}+\vec{b}$ が角の二等分方向になる。大きさが違うときは、単位ベクトルの和 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ が二等分方向を与える。

別解

別解 — ひし形の対角線は角を二等分する(苦手な人向けの図形ルート)。 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を図にかいて考える。

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ なので、$\vec{a},\vec{b}$ を $2$ 辺とする平行四辺形は、$4$ 辺の長さがすべて $1$ のひし形。その対角線が $\vec{a}+\vec{b}$ だ。

ひし形の対角線は、頂点の角をちょうど半分に分ける。だから $\vec{a}+\vec{b}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のあいだの角を二等分する。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は、$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ すなわち $\cos =\frac{1}{2}$ より $60°$。その半分だから、$\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角は $30°$。

内積で計算する本解と同じ $30°$。大きさが等しいときは、和のベクトルが角の二等分線になる、と図で見える。