斜交座標の領域の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(x,y)$ の世界では、$|x|+|y|\le 1$ は頂点 $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ のひし形(面積2)だ。

対応 $\mathrm{P}=x\vec{a}+y\vec{b}$ は、$(1,0)\mapsto \vec{a}$、$(0,1)\mapsto \vec{b}$ という1次変換。直線は直線に、ひし形はひし形の像(平行四辺形)に移る。

1次変換は面積を一律に $|\det |$ 倍する。基本の正方形が $\vec{a},\vec{b}$ の張る平行四辺形(面積 $|2\cdot 3-1\cdot 1|=5$)に移るから、答えは $2\times 5=10$。「形は変わるが、面積の倍率は一定」が急所だ。

① もとの領域。 $|x|+|y|\le 1$ は4直線 $\pm x\pm y=1$ で囲まれた正方形(ひし形)で、面積は対角線 $2\times 2$ から $\frac{2\cdot 2}{2}=2$。

② 像の形。 1次の対応だから、頂点 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ はそれぞれ $\vec{a},\vec{b},-\vec{a},-\vec{b}$、すなわち $(2,1),(1,3),(-2,-1),(-1,-3)$ に移り、辺は辺に移る — 像はこの4点を頂点とする平行四辺形である。

③ 面積。 倍率は $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=|2\cdot 3-1\cdot 1|=5$。よって

$$S=2\times 5=10$$

(検算: 頂点 $(2,1),(1,3),(-2,-1),(-1,-3)$ の平行四辺形の面積を対角線や成分で直接計算しても10になる。)

まとめ: $x\vec{a}+y\vec{b}$ は「$\vec{a},\vec{b}$ を目盛りにした斜交座標」— 領域の形は $(x,y)$ の世界で読み、面積は倍率 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ で運ぶ、という分業が鮮やか。1次変換の面積比の考え方を、ベクトルの言葉だけで先取りする問題だ。

発展 — 一歩先へ。 「1次変換は面積を $|\det |$ 倍する」は、円を楕円に移して面積 $\pi ab$ を出す(数C・曲線)、積分の置換(ヤコビアン)など、これから何度も再会する原理だ。$\det =0$ のとき(像がつぶれるとき)面積が0になることも、平行判定 $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$ と同じ式で説明がつく。

別解

像の対角線で直接測る(変換の一般論を使わない)。 ひし形の頂点 $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ の行き先は $\pm \vec{a},\pm \vec{b}$。1次の対応は直線を直線に移すから、P の動く領域は4点 $\vec{a},\vec{b},-\vec{a},-\vec{b}$ を順に結んだ四角形だ。

この四角形は、対角線が $2\vec{a}$(from $-\vec{a}$ to $\vec{a}$)と $2\vec{b}$ で、どちらも中点 O で交わる — 対角線が互いに他を二等分する四角形は平行四辺形。

対角線 ${\vec{d}}_1,{\vec{d}}_2$ の四角形の面積は $\frac{1}{2}|d_{1x}{d}_{2y}-d_{1y}{d}_{2x}|$ で

$$S=\frac{1}{2}\left|4\cdot (2\cdot 3-1\cdot 1)\right|=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=10$$

「1次変換は面積を $|\det |$ 倍する」(本解)を天下りに使わず、像の四角形を特定して対角線公式で測った。答えの $10=2\times 5$ の「$2$=ひし形の面積、$5$=単位正方形の像の面積」という分解も、この絵で腑に落ちる。