垂直条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 垂直の判定には、道具が $1$ つしかない。

$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

「垂直なら、内積がゼロ。」

なぜか。 内積の定義を思い出そう。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

$\theta =90^{\circ }$ のとき、$\cos 90^{\circ }=0$。

だから、内積が $0$ になる。

($\vec{a}$、$\vec{b}$ が $\vec{0}$ でなければ、逆も成り立つ。)

この問題では、内積を $k$ の式で表して、$0$ とおく。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 3+3\times k=6+3k$$

$$6+3k=0⟹k=-2$$

平行(実数倍)と、垂直(内積 $0$)。

この $2$ つが、ベクトルの位置関係を判定する、対をなす道具である。

① 垂直条件(内積 $=0$)を書く。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+3\cdot k=6+3k=0$$

② 解く。

$$3k=-6\Rightarrow k=-2$$

まとめ:垂直は「内積 $=0$」。$\cos 90^{\circ }=0$ なので $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cdot 0=0$。成分で $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$ を解く。平行(実数倍)との違いを押さえる。

発展 — 一歩先へ。 「垂直 $=$ 内積 $0$」という規則は、直交という、もっと広い概念の入り口だ。

関数どうしが「垂直」になる、と言われたら、どう思うだろうか。

意味不明に聞こえる。だが、ちゃんと定義できる。

関数の内積を、積分で定義する。

$$⟨f,g⟩={\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)dx$$

「掛けて、足す(積分する)」 — ベクトルの内積($a_1{b}_1+a_2{b}_2$)と、同じ構造だ。

この定義のもとで、$\sin x$ と $\cos x$ は直交する。

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$$

内積が $0$ — つまり「垂直」である。

$\sin x$ と $\sin 2x$ も、直交する。

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\sin 2xdx=0$$

周波数が違う波は、すべて互いに直交している。

この直交性が、フーリエ級数を可能にする。

関数を、直交する"基底"の $1$ 次結合で書く。

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

そして、各成分は「内積をとる」ことで取り出せる。

$$a_n=\frac{1}{\pi }⟨f,\cos nx⟩$$

これは、ベクトルの成分を取り出すのと、まったく同じ操作だ。

$$a_x=\vec{a}\cdot \overrightarrow{e_x}$$

直交する基底に、内積で射影する。

$2$ 次元のベクトルでやったことが、無限次元の関数空間で、そのまま通用する。

この抽象化のご褒美は、絶大だ。

音を、周波数成分に分解できる(イコライザー、MP3)。

画像を、空間周波数に分解できる(JPEG)。

信号から、ノイズを取り除ける(フィルタリング)。

量子力学では、状態を「固有状態の重ね合わせ」として書く — これも直交基底への分解だ。

「内積 $=0$ なら垂直」

この、$k=-2$ を求めるだけの素朴な条件。

それが、$\sin$ と $\cos$ を「垂直」と呼び、音楽を圧縮し、量子の状態を記述する言語になっている。

数学の抽象化とは、こういうことなのだ。

「垂直」という日常語を、内積 $=0$ という式で捉え直す。

すると、矢印でないものにも、「垂直」という概念が使えるようになる。

別解

中学で習った「傾きの積が $-1$」で解く。

ベクトルを、直線の方向として見よう。

$\vec{a}=(2,3)$ は、「右に $2$、上に $3$」の方向。 傾きは

$$\frac{3}{2}$$

$\vec{b}=(3,k)$ の傾きは

$$\frac{k}{3}$$

$2$ 直線が垂直になる条件を、中学で習った。

$$({\text{傾き}}_1)\times ({\text{傾き}}_2)=-1$$

当てはめる。

$$\frac{3}{2}\times \frac{k}{3}=-1$$

$$\frac{k}{2}=-1⟹k=-2$$

本解と同じ答え ✓

では、「傾きの積が $-1$」と「内積が $0$」は、どういう関係にあるのか。

同じことを言っている。

内積の条件を書き下す。

$$a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$$

両辺を $a_1{b}_1$ で割る($a_1,b_1\ne 0$ とする)。

$$1+\frac{a_2{b}_2}{a_1{b}_1}=0$$

$$\frac{a_2}{a_1}\times \frac{b_2}{b_1}=-1$$

左辺は、まさに「傾きの積」だ!

$$({\text{傾き}}_1)\times ({\text{傾き}}_2)=-1$$

内積 $0$ の条件から、中学の公式が導けた。

では、なぜベクトルでは「内積 $0$」を使うのか。傾きで十分では?

理由 $1$: 縦の直線が扱える。

$\vec{a}=(0,1)$(真上向き)の傾きは、$\frac{1}{0}$ — 定義できない。

傾きの公式は、垂直な直線で破綻する。

だが内積なら、何の問題もない。

$$(0,1)\cdot (1,0)=0⟹\text{垂直}✓$$

理由 $2$: $3$ 次元以上でも使える。

$3$ 次元に「傾き」はない。 だが内積は、そのまま使える。

$$(1,2,3)\cdot (2,-1,0)=2-2+0=0⟹\text{垂直}$$

理由 $3$: 計算が単純。

分数が出てこない。 掛けて足すだけだ。

「内積 $0$」は、傾きの公式の"上位互換"なのである。

例外がなく、次元にも縛られず、計算も楽。

中学で習った便利な公式が、高校でより強力な形に置き換わる。

これは「以前の知識が間違いだった」のではない。 より広い世界に通用する道具を、手に入れたということだ。

数学の学びは、いつもこうして拡張されていく。