円上を動く点との内積の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内積 $\vec{a}\cdot \vec{p}=|\vec{a}||\vec{p}|\cos \theta$。大きさ $|\vec{a}|=5$、$|\vec{p}|=2$ は固定だから、変わるのは $\cos \theta$ だけ。

$\vec{p}$ は大きさ $2$ の円周上を自由に動く。だから $\vec{a}$ とのなす角 $\theta$ は $0$ から $2\pi$ まで何でもとれ、$\cos \theta$ は $-1$ から $1$ まで動く。

内積は $10\cos \theta$ の形。最大・最小は $\cos \theta =\pm 1$(向きがそろう / 反対)のとき、すなわち $\pm 10$。

① 内積を角で表す。 $\vec{a}\cdot \vec{p}=|\vec{a}||\vec{p}|\cos \theta =5\cdot 2\cdot \cos \theta =10\cos \theta$。

② $\cos \theta$ の範囲。 $\vec{p}$ は向きを自由に変えられるので、なす角 $\theta$ は $0$ から $\pi$ まで動き、$\cos \theta \in [-1,1]$。

③ 最大・最小。 $10\cos \theta$ は

• 最大 $10$($\cos \theta =1$、$\vec{p}$ が $\vec{a}$ と同じ向き)、
• 最小 $-10$($\cos \theta =-1$、$\vec{p}$ が $\vec{a}$ と反対向き)。

まとめ 内積 $=|\vec{a}||\vec{p}|\cos \theta$ で、大きさが一定なら $\cos \theta$ だけが動く。最大 $10$・最小 $-10$。ベクトル(内積)と円・最大最小の融合。$\vec{p}=\pm \frac{2}{5}\vec{a}$ のとき実現する。

発展 — 一歩先へ。 コーシー・シュワルツの不等式 $|\vec{a}\cdot \vec{p}|\le |\vec{a}||\vec{p}|$ は、成分・次元によらず成り立つ普遍的な不等式。$n$ 次元では ${\left(\sum a_i{p}_i\right)}^2\le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum p_i^2\right)$、積分では ${\left(\int fg\right)}^2\le \int f^2\int g^2$。「内積は大きさの積を超えない」という一言が、数学の広い範囲を貫いている。

別解

別解 — コーシー・シュワルツの不等式で上下を押さえる(得意な人向けの高い視点)。 内積には、なす角を持ち出さずに大きさを縛る不等式がある。コーシー・シュワルツの不等式

$$|\vec{a}\cdot \vec{p}|\le |\vec{a}||\vec{p}|=5\times 2=10.$$

つまり $-10\le \vec{a}\cdot \vec{p}\le 10$。等号成立は $\vec{a}$ と $\vec{p}$ が平行のとき、すなわち向きがそろえば最大 $10$、逆向きなら最小 $-10$。

$\vec{p}$ は大きさ $2$ の円周を動くから、$\vec{a}$ と平行・反平行の向きは必ずとれる。だから最大 $10$・最小 $-10$ はどちらも実現する。

なす角 $\theta$ で $10\cos \theta$ とみる(本解)のと同じ結論だが、コーシー・シュワルツは「内積は大きさの積を超えない」という普遍的な不等式で、成分が増えても(空間ベクトルでも $n$ 次元でも)そのまま通用する。