点Pの存在範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で、$s+t$ が固定値 $k$、$s,t\ge 0$ のとき、$\mathrm{P}$ の動きを考える。

このとき $\mathrm{P}$ は「線分 $\mathrm{AB}$ を原点から $k$ 倍に相似拡大した線分」の上を動く($k=1$ で線分 $\mathrm{AB}$ そのもの)。

$k$ が $1$ から $2$ まで動くと、これらの線分が帯状に掃いて台形になる。

まず $s+t=1$ の場合(線分 $\mathrm{AB}$)を押さえる、と見通す。

① $s+t=1$ のとき。 $s+t=1$、$s,t\ge 0$ なら $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上(内分点)。

② $s+t=k$ のとき。 $s^{\prime }=\frac{s}{k},t^{\prime }=\frac{t}{k}$ とおくと $s^{\prime }+t^{\prime }=1$ で、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k(s^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{OB}})$。これは線分 $\mathrm{AB}$ 上の点を原点から $k$ 倍した点。$k=2$ のとき、$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}$、$2\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ を結ぶ線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$。

③ 範囲を掃く。 $k$ を $1$ から $2$ まで動かすと、線分 $\mathrm{AB}$ から線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ まで平行移動しながら広がる。よって存在範囲は、線分 $\mathrm{AB}$ と線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$(${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{A},{\mathrm{B}}^{\prime }=2\mathrm{B}$)にはさまれた台形の周と内部。

まとめ:$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の存在範囲は「$s+t$ の値で線分の位置が決まる」。$s+t=1$ で線分 $\mathrm{AB}$、$s+t=k$ でその $k$ 倍拡大。$1\le s+t\le 2$ は $\mathrm{AB}$ と ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の間の台形。$s,t\ge 0$ が三角形側(第 $1$ 象限的)に限る。

発展 — 一歩先へ。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の $(s,t)$ を、$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を軸とする斜交座標とみると、条件 $1\le s+t\le 2$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ は $(s,t)$ 平面での台形。

$1$ 次変換(アフィン写像)は、直線を直線に、線分の比を比のまま移す。だから $(s,t)$ 平面の台形は、実際の平面でも台形に写る。頂点や辺の位置だけ計算すれば、形は保たれる。

「不等式で表された条件を座標平面の領域に翻訳し、それを図形として写す」——これは線形計画法の実行可能領域とも同じ考え方。ベクトルの係数は、そのまま図形の座標になる。

別解

別解 — $(s,t)$ 平面で領域を描いてから写す(得意な人向けの視点)。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を座標軸にとると、$\mathrm{P}$ の位置は $(s,t)$ そのもの。まず $(s,t)$ 平面で条件を図示する。

$s\ge 0$、$t\ge 0$、$1\le s+t\le 2$ は、$(s,t)$ 平面で $2$ 直線 $s+t=1$ と $s+t=2$ にはさまれた、第 $1$ 象限の台形。頂点は

$$(1,0),(2,0),(0,2),(0,1).$$

これを $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の平面に写す。$(1,0)\to \mathrm{A}$、$(0,1)\to \mathrm{B}$、$(2,0)\to {\mathrm{A}}^{\prime }(=2\mathrm{A})$、$(0,2)\to {\mathrm{B}}^{\prime }(=2\mathrm{B})$。

アフィン写像は直線と比を保つので、台形は台形のまま。よって存在範囲は、線分 $\mathrm{AB}$ と線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ にはさまれた台形の周と内部。

$k$ 倍拡大の線分を掃く本解と同じ。$(s,t)$ を座標とみて先に領域を描くと、$s+t$ の範囲や $s,t\ge 0$ の効き方が、ただの座標平面の不等式として見える。