円のベクトル方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円は「中心からの距離が半径に等しい点の集まり」。

これをベクトルで書くと $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ になる。

だから $\mathrm{P}$ が円上かどうかは、中心 $\mathrm{C}$ から $\mathrm{P}$ へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の大きさが半径 $3$ に等しいかを見ればよい、と見通す。

① 中心から点へのベクトルを求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\mathrm{P}-\mathrm{C}=(4-1,2-2)=(3,0)$$

② 大きさ(中心からの距離)を求める。

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=\sqrt{3^2+0^2}=3$$

③ 半径とくらべる。 $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=3=r$ なので、点 $\mathrm{P}$ は円上にある。

まとめ:円は「中心からの距離が半径に等しい点の集まり」。ベクトルでは $|\vec{p}-\vec{c}|=r$。$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の大きさが半径 $3$ に等しいので $\mathrm{P}$ は円周上。$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|<r$ なら内部、$>r$ なら外部だ。

発展 — 一歩先へ。 ベクトル方程式 $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ の両辺を $2$ 乗すると $(\vec{p}-\vec{c})\cdot (\vec{p}-\vec{c})=r^2$。これを成分で書けば $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ という円の方程式そのものになる。

内部・円上・外部の判定は、$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$ と $r$ の大小、つまり $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}{|}^2-r^2$ の符号で決まる。これは点の「方べきの値」にあたる。

円は媒介変数でも書ける。中心から $r(\cos \theta ,\sin \theta )$ だけ進んだ点の集まりだ。今回の $\mathrm{P}$ は $\theta =0°$、円のいちばん右の点にあたる。

別解

別解 — 円を媒介変数で表して当てはめる(得意な人向けの視点)。 中心 $\mathrm{C}(1,2)$、半径 $3$ の円上の点は、$\mathrm{C}$ から半径 $3$ だけ各方向へ進んだ点。すなわち $(1+3\cos \theta ,2+3\sin \theta )$ と書ける。

点 $\mathrm{P}(4,2)$ がこの形になる $\theta$ があるかを調べる。$x$ 座標から $1+3\cos \theta =4$、つまり $\cos \theta =1$。$y$ 座標から $2+3\sin \theta =2$、つまり $\sin \theta =0$。

$\cos \theta =1$ かつ $\sin \theta =0$ を満たすのは $\theta =0°$。だから $\mathrm{P}$ は円上の点(円のいちばん右)にあたる。

$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=r$ を確かめる本解と同じ結論。$\mathrm{P}$ は $\theta =0°$ に対応する円周上の点だと、媒介変数からもわかる。