大きさの条件から内積・なす角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内積を求めたいが、直接は与えられていない。

ここで $|\vec{a}-\vec{b}|$ という「差の大きさ」に注目する。その $2$ 乗を展開すると、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が顔を出す。

$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ に既知の値を入れて $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を出す。

なす角は、そのあと $\cos \theta$ の公式で求める、と見通す。

① 内積を求める。 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(\sqrt{7}{)}^2=7$。展開して

$$7=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-2\vec{a}\cdot \vec{b}+4$$

より $2\vec{a}\cdot \vec{b}=13-7=6$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=3$。

② なす角。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3}{3\cdot 2}=\frac{1}{2}$$

$0°\le \theta \le 180°$ より $\theta =60°$。

まとめ:大きさから内積は「$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$(または $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$)を展開」。$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ に代入して $\vec{a}\cdot \vec{b}=3$。なす角は $\cos \theta =\frac{1}{2}$ で $60°$。

発展 — 一歩先へ。 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ は、じつは余弦定理そのもの。$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ を入れると $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ となる。

ベクトルの内積は、代数(成分計算)と幾何(長さと角)を橋渡しする。$\vec{a},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}$ が作る三角形で、この式が三辺と角の関係を語っている。

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ を展開すれば、平行四辺形のもう $1$ 本の対角線が出る。差は $-2\vec{a}\cdot \vec{b}$、和は $+2\vec{a}\cdot \vec{b}$。符号の違いが、$2$ 本の対角線の長さの違いを生む。

別解

別解 — 余弦定理で角を先に出す(得意な人向けの視点)。 $\vec{a},\vec{b}$ を $2$ 辺、$\vec{a}-\vec{b}$ を対辺とする三角形とみれば、余弦定理がそのまま使える。

三辺は $|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=2$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ について、余弦定理は

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta .$$

数値を入れると $7=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cos \theta =13-12\cos \theta$。よって $\cos \theta =\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$、$\theta =60°$。

内積は定義から $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =3\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=3$。

$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ を展開して内積を出す本解と同じ。じつは両者は同じ式で、内積を挟むかどうかの違いだけ。三角形の三辺が見えれば、余弦定理で角を先に求める道も自然だ。