平面ベクトルの解説

平面ベクトルは「向きと大きさをもつ量」を矢印として扱い、図形の問題を計算に置き換える単元です。ベクトルの演算、内積、位置ベクトル、ベクトル方程式の4つが中心で、数学Aの図形の性質や数学IIの図形と方程式で解いていた問題を、別の方法で解けるようになります。

ベクトルの演算と大きさ

ベクトルの和・差・実数倍は成分ごとに計算します。大きさ $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ は三平方の定理です。ベクトルの大きさ、和、実数倍と差で、成分計算と、矢印の図(三角形則・平行四辺形則)を対応させてください。このサイトでは和の三角形則や大きさの直角三角形を図にしてあります。

「$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の形に分解する」問題(標準のベクトルの分解、応用の1次結合による分解)は、成分を比較して $s$、$t$ の連立方程式を解きます。平行でない2つのベクトルがあれば、平面上のどのベクトルもこの形に一意に書ける、という事実が、ベクトルで図形を扱う基礎です。

内積

内積は $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2$ です。定義(角度)による表し方と成分による計算の2通りがあり、この2つを等しいとおくことで、なす角が求まります。内積(成分)、内積(定義)、なす角で、2通りの求め方を練習してください。

垂直は内積が0、平行は一方が他方の実数倍(成分なら $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$)です(平行条件、垂直条件)。

$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値(標準のベクトルの大きさの最小、応用の同名の問題)は、2乗して $t$ の2次関数にします。最小になるとき $\vec{a}+t\vec{b}$ が $\vec{b}$ と垂直になる、という幾何的な意味を、図で確かめてください。「大きさは2乗して内積で展開する」は、ベクトルの計算でよく使う方法です。

内積を使った三角形の面積は $S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$、成分なら $\frac{1}{2}|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$ です(標準の三角形の面積(座標)、応用のベクトル)。

位置ベクトル

原点を決めると、点 $\mathrm{P}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{p}$ で表せます。線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点は $\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$、重心は3頂点の平均です。内分点の位置ベクトルと三角形の重心で確認してください。分点の公式は、$m$ と $n$ の位置が「たすき」になっている(向かいの係数がつく)ことに注意が要ります。

図形の問題では頂点の1つを始点にして、他の点をすべてその始点からのベクトルで表す、というのが基本です。「2直線の交点」は交点を2通りに表して係数を比較する、という手順で求まります(難関の交点の位置ベクトル)。

ベクトル方程式と存在範囲

直線は「通る点 + 方向ベクトルの実数倍」で $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$、円は「中心からの距離が一定」で $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ と書けます(標準の直線のベクトル方程式、応用の円のベクトル方程式)。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で、$s$ と $t$ に条件($s+t=1$ なら直線 $\mathrm{AB}$、$s+t\le 1$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ なら三角形の内部)がついたときの点 $\mathrm{P}$ の存在範囲は、数学Cで独特の問題です。$s+t=k$ のときは、$\frac{s}{k}+\frac{t}{k}=1$ と直して、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を $k$ 倍したベクトルで考えます。難関の点Pの存在範囲と実戦編の係数の条件と点の存在範囲で、この「係数の和を1にそろえる」変形を練習してください。

ベクトルと初等幾何の見比べ

ベクトルで解ける問題の多くは、数学Aの図形の性質でも解けます。中線定理、チェバの定理、内心・外心・垂心の位置は、両方の方法で解くことができ、このサイトの実戦編の中線定理をベクトルで示す、チェバの定理、内心の位置ベクトルは、その見比べのための問題です。ベクトルが楽にしているのは、「補助線を思いつかなくても、機械的な計算で同じ結論に到達できる」点です。逆に、初等幾何が見えている問題では、ベクトルの計算が遠回りになることもあります。

学習の順序と入試での出方

基礎12問で演算・内積・なす角・平行垂直・分点・重心・単位ベクトルを確認し、標準12問で分解、面積、最小、直線の方程式、垂直の証明を扱い、応用8問で重心、最小値、1次結合、点と直線の距離、円、内積の最大・最小へ進みます。

入試では、交点の位置ベクトル、内積の最大・最小、存在範囲がよく出て、空間ベクトルへそのまま拡張されます。最難関編には、面積公式の証明(コーシー・シュワルツ)、外心の1次結合、斜交座標の面積、内積が一定な点の軌跡など、ベクトルの道具を深く使う問題を集めました。