位置ベクトルと分点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1:2$ の内分 — 内分点の公式に当てはめる。

$$\mathrm{P}=\frac{2\mathrm{A}+1\cdot \mathrm{B}}{1+2}=\frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$$

近い方の点に大きい係数($\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$ 寄りだから $\mathrm{A}$ に $2$)が付く形。成分を入れて

$$\mathrm{P}=\left(\frac{2\cdot 2+8}{3},\frac{2\cdot 3+6}{3}\right)=(4,4)$$

比の数字と係数の対応(たすき掛け)を、図の位置関係で確かめながら書くのが安全だ。

$1:2$ 内分なので $m=1$、$n=2$。$\frac{2\mathrm{A}+1\mathrm{B}}{3}$。

$$\mathrm{P}=\frac{2(2,3)+(8,6)}{3}=\frac{(4,6)+(8,6)}{3}=\frac{(12,12)}{3}=(4,4)$$

まとめ:内分点は「係数がたすきがけ」。$1:2$ 内分($\mathrm{A}$ に近い)は $\mathrm{A}$ の重みが $2$。$x$、$y$ を別々に計算しても、ベクトルでまとめて計算しても同じ。$(4,4)$。

発展 — 一歩先へ。 重み付き平均の見方は、内分を超えて広がる。重み $s,t$($s+t=1$、両方非負)で $s\mathrm{A}+t\mathrm{B}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 全体を、$3$ 点なら $s\mathrm{A}+t\mathrm{B}+u\mathrm{C}$($s+t+u=1$)は三角形の内部全体を表す — 「点の存在範囲」の問題(この単元の応用の山場)は、この重みの言葉で読むと見通しがよい。

外分は「負の重み」を許した重心。重み $-1$ と $2$ のてんびんは支点が線分の外に出る — 内分・外分・存在範囲が「重みの符号と合計」だけで統一される。

別解

$\frac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$ という式を、てんびんの重心として読むと、係数の付き方が二度と迷わなくなる。

点 $\mathrm{A}$ に重さ $2$、点 $\mathrm{B}$ に重さ $1$ のおもりを乗せたてんびんを想像する。釣り合いの支点(重心)はどこか — 重い方の近くだ。重さが $2:1$ なら、支点は $\mathrm{A}$ からの距離と $\mathrm{B}$ からの距離が $1:2$ … つまり線分を $\mathrm{A}$ 側から $1:2$ に切る点。

$$\mathrm{P}=\frac{2\mathrm{A}+1\cdot \mathrm{B}}{2+1}=\frac{(4,6)+(8,6)}{3}=(4,4)$$

内分点の公式は「重み付き平均」— 分子は重さ $\times$ 位置の合計、分母は重さの合計、という重心の計算そのものだ。

「比 $1:2$ で分けたい → 逆の $2:1$ の重さを乗せる」という反転(距離の比と重さの比は逆)が、公式の「たすき掛け」の正体。三角形の重心 $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$(重さ $1$ ずつ)も、チェバ・メネラウスの質点法も、すべてこのてんびんの延長線上にある。