内積(定義)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内積には、$2$ つの顔がある。

① 成分の顔(前問)

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

② 角度の顔(こちらが本来の定義)

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

この問題では、大きさと角度が与えられている。 だから ② を使う。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 3\times \cos 60^{\circ }=2\times 3\times \frac{1}{2}=3$$

$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ を、確実に。

どちらの顔を使うかは、与えられた情報で決まる。

• 成分が分かっている → ① 積の和
• 大きさと角度が分かっている → ② $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

「$2$ つの表現を持ち、状況で使い分ける」 — これが内積を自在に操るコツだ。

そして、$2$ つを等しいとおけば、角度が求まる。 それが次の問題である。

$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ を代入する。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 3\times \cos 60^{\circ }=6\times \frac{1}{2}=3$$

まとめ:内積には $2$ つの顔がある。定義「$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$」と成分「$a_1{b}_1+a_2{b}_2$」。大きさとなす角が分かるときは定義を使う。$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

発展 — 一歩先へ。 内積の定義 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ から、有名な不等式が生まれる。

$\cos \theta$ の値は、必ず $-1$ 以上 $1$ 以下だ。

$$-1\leqq \cos \theta \leqq 1$$

両辺に $|\vec{a}||\vec{b}|$($\geqq 0$)を掛ける。

$$-|\vec{a}||\vec{b}|\leqq \vec{a}\cdot \vec{b}\leqq |\vec{a}||\vec{b}|$$

絶対値でまとめると

$$\boxed{\left|\vec{a}\cdot \vec{b}\right|\leqq |\vec{a}||\vec{b}|}$$

コーシー・シュワルツの不等式である。

成分で書いてみよう。

$$\left|a_1{b}_1+a_2{b}_2\right|\leqq \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}$$

$2$ 乗すると

$$(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2\leqq (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$$

この不等式は、代数的にも証明できる(差をとると平方になる)。

だがベクトルで見れば、「$\cos \theta \leqq 1$」というだけの話だ。

幾何的な事実が、代数の不等式を生む。

この不等式は、数学のいたるところに現れる。

$3$ 変数版。

$$(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2\leqq (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$$

積分版。

$${\left(\int f(x)g(x)dx\right)}^2\leqq \int f(x{)}^{2}dx\int g(x{)}^{2}dx$$

確率版。

$${\left|E(XY)\right|}^2\leqq E(X^2)E(Y^2)$$

すべて、同じ構造をしている。

「内積の $2$ 乗 $\leqq$ 大きさの $2$ 乗の積」

関数の空間でも、確率変数の空間でも、"内積"を定義すれば、この不等式が成り立つ。

そして、等号が成り立つのは — $\cos \theta =\pm 1$、つまり $2$ つが平行($1$ 次従属)のときだけ。

相関係数の $|r|\leqq 1$ も、この不等式の帰結だ。

$$r=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\cos \theta$$

相関係数は、$2$ つの確率変数の"なす角の $\cos$"だったのである。

• $r=1$: 完全に同じ向き(完全な正の相関)
• $r=0$: 垂直(無相関)
• $r=-1$: 逆向き(完全な負の相関)

統計学の中心概念が、ベクトルの内積として理解できる。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

この $1$ 行が、幾何・代数・解析・統計を貫いている。

別解

具体的な成分を設定して、$2$ つの顔が一致することを確かめる。

問題では成分が与えられていない。 だが、条件を満たす具体例を作ることはできる。

$\vec{a}$ を、$x$ 軸方向に置こう。

$$\vec{a}=(2,0)(\text{大きさ }2✓)$$

$\vec{b}$ は、$\vec{a}$ から $60^{\circ }$ の向きで、大きさ $3$。

$$\vec{b}=3(\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ })=3\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$

確かめる。

$$|\vec{b}|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{36}{4}}=\sqrt{9}=3✓$$

大きさ $3$、$x$ 軸との角が $60^{\circ }$ — 条件を満たしている。

では、成分の公式で内積を計算しよう。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times \frac{3}{2}+0\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3+0=3$$

$3$! 本解と完全に一致した ✓

$2$ つの顔が、同じ答えを返すことが確かめられた。

しかも、この計算からは、内積の意味が透けて見える。

$\vec{a}$ は $x$ 軸方向なので、内積は $\vec{b}$ の $x$ 成分だけを拾い出している。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times \underset{\vec{b}\text{ の }x\text{ 成分}}{\underbrace{\frac{3}{2}}}$$

$\vec{b}$ の $x$ 成分 $\frac{3}{2}$ とは何か。

$\vec{b}$ を $x$ 軸に射影した長さ — つまり影の長さだ。

$$|\vec{b}|\cos 60^{\circ }=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

内積 $=$ $|\vec{a}|$ $\times$ ($\vec{b}$ の影の長さ)

この「影」のイメージが、内積の本質である。

角度を変えると、影の長さが変わる。

• $\theta =0^{\circ }$: 影は $|\vec{b}|=3$(最大) → 内積 $=2\times 3=6$
• $\theta =60^{\circ }$: 影は $1.5$ → 内積 $=3$
• $\theta =90^{\circ }$: 影は $0$ → 内積 $=0$
• $\theta =180^{\circ }$: 影は $-3$(逆向き) → 内積 $=-6$

内積は $6$ から $-6$ まで、$\cos \theta$ に応じて連続的に変わる。

この「影の長さ」は、物理の仕事(エネルギー)そのものだ。

力 $\vec{F}$ で物体を $\vec{s}$ だけ動かしたとき、した仕事は

$$W=\vec{F}\cdot \vec{s}=|\vec{F}||\vec{s}|\cos \theta$$

力の向きと移動の向きが同じなら、仕事は最大。

垂直なら、仕事はゼロ。

重い荷物を持って水平に歩いても、物理的には「仕事をしていない」(重力は下向き、移動は水平で、垂直だから)。

疲れるのに、仕事はゼロ。 物理の定義は、ときに直感に反する。

だが、その定義があるからこそ、エネルギー保存則という美しい法則が成り立つのだ。