円のベクトル方程式(直径の両端)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$\mathrm{AB}$ を直径とする円」は、円周上の点 $\mathrm{P}$ から見て $\mathrm{AB}$ が直角に見える(直径に対する円周角は $90°$、タレスの定理)。

これをベクトルで書くと $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$、すなわち $(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$。

中心は直径の中点、半径は直径の半分。

これで中心と半径が即座に分かる、と見通す。

① ベクトル方程式の意味。 円周上の点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ は $\angle \mathrm{APB}=90°$、すなわち

$$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$$

② 中心。 直径 $\mathrm{AB}$ の中点だから

$$\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(3,3)$$

③ 半径。 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{(5-1{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ だから、半径は

$$\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}=\sqrt{5}$$

まとめ:直径を与えた円は「$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$」(タレスの定理のベクトル版)。中心は直径 $\mathrm{AB}$ の中点 $(3,3)$、半径は $\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\sqrt{5}$。中心と半径がひと目で出るのがこの表し方の利点。

発展 — 一歩先へ。 ベクトル方程式 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$ を成分で展開すると、そのまま円の方程式になる。$\vec{p}=(x,y)$ とすれば $(x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0$。

これを整理すると $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=5$。中心 $(3,3)$、半径 $\sqrt{5}$ が、内積の式から自動的に出てくる。これが円の方程式の「直径形」だ。

背景はタレスの定理(直径に対する円周角は直角)。内積 $0$ という $1$ 行の式が、円という図形をまるごと表している。ベクトルは、幾何の定理を計算可能な式に翻訳する。

別解

別解 — ベクトル方程式を展開して標準形にする(得意な人向けの視点)。 タレスの定理を使わず、$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$ を成分で展開しても、中心と半径が出る。

$\vec{p}=(x,y)$、$\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(5,4)$ を代入する。

$$(x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0.$$

展開すると $x^2-6x+5+y^2-6y+8=0$、すなわち $x^2+y^2-6x-6y+13=0$。$x,y$ それぞれ平方完成して

$$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=9+9-13=5.$$

これは中心 $(3,3)$、半径 $\sqrt{5}$ の円。

中点と $\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ から出す本解と同じ。展開すると、内積 $0$ の式が円の標準形に化けるのが目に見える。中点 $(3,3)$ が平方完成の中心に、$\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\sqrt{5}$ が半径に、ちゃんと現れる。