数学C / 平面ベクトル

係数の条件と点の存在範囲

実戦編平面ベクトル領域1次結合存在範囲単元横断

問題

三角形 $OAB$ に対し、 $OP = s OA + t OB$ とする。実数 $s, t$ が $s \geq 0, t \geq 0, 1 \leq s + t \leq 2$ を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在する範囲を求め、その面積を三角形 $OAB$ の面積 $S$ で表せ。

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$s + t = k$ ( $s, t \geq 0$ )は、 $OA, OB$ を $k$ 倍に延ばした点 $k A, k B$ を結ぶ線分。 $k = 1$ で辺 $AB$ 、 $k = 2$ で $2$ 倍の位置。 $1 \leq k \leq 2$ の帯の面積は?

解答・解説

方針

$s + t = k$ ( $k$ 一定)は、三角形 $OAB$ を $k$ 倍に相似拡大した三角形の底辺 $A^{'} B^{'}$ に対応する線分。 $k$ を $1$ から $2$ まで動かした帯が存在範囲。面積は相似比の $2$ 乗で。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $OP = s OA + t OB$ で、 $s + t$ の値がカギを握る。 $s + t = k$ (一定)のとき、 $P$ はどこを動くか。

$s + t = k$ は、三角形 $OAB$ を $O$ を中心に $k$ 倍拡大した三角形の“底辺”に対応する線分だ( $k = 1$ なら線分 $AB$ )。

$k$ を $1$ から $2$ まで動かすと、これらの線分が掃く帯(台形状)が存在範囲。面積は「 $2$ 倍拡大の三角形」から「元の三角形」を引いたもので、相似比の $2$ 乗で計算できる。

範囲は台形(A,A'=2A,B'=2B,B)。面積は 3S

重要

OP = s OA + t OB, s + t = k, s, t \geq 0

の点は、

k A

と

k B

を結ぶ線分

① 各 $k$ での線分。 $s + t = k$ ( $s, t \geq 0$ )のとき、 $OP = k (\frac{s}{k} OA + \frac{t}{k} OB)$ で、 $\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = 1$ だから内分点。よって $P$ は $k A$ と $k B$ を結ぶ線分上。

② 帯の形。 $k$ を $1$ から $2$ まで動かすと、線分 $AB$ ( $k = 1$ )から線分 $2 A 2 B$ ( $k = 2$ )までの間を掃く。これは三角形 $O (2 A) (2 B)$ から三角形 $OAB$ を除いた台形状の領域。

③ 面積。 三角形 $O (k A) (k B)$ は $OAB$ の相似比 $k$ の拡大で、面積は $k^{2} S$ 。よって求める面積は $2^{2} S - 1^{2} S = 4 S - S = 3 S .$

まとめ $s + t = k$ は $k$ 倍拡大した三角形の底辺。 $1 \leq k \leq 2$ の帯は「 $2$ 倍拡大の三角形 $-$ 元の三角形」で、面積は $(4 - 1) S = 3 S$ 。ベクトル(1次結合)と領域・相似の融合。

発展 — 一歩先へ。 条件を $s + t \leq 1$ に変えれば三角形 $OAB$ の内部、 $s, t \geq 0$ だけなら角の内部(無限に広がる扇形)、 $0 \leq s \leq 1, 0 \leq t \leq 1$ なら平行四辺形。 $s, t$ の不等式の形が、そのまま領域の形を決める。線形計画法(1次式の制約で領域を区切り最大化する)の図形的な土台が、この係数の条件と領域の対応だ。

答

$s + t = 1$ は線分 $AB$ 、 $s + t = 2$ は $OA, OB$ を $2$ 倍に延ばした点を結ぶ線分。範囲は三角形 $OAB$ を $2$ 倍に拡大した三角形から $OAB$ を除いた台形状の部分で、面積は $(2^{2} - 1^{2}) S = 3 S$ 。

別解

別解 — $s + t = k$ の帯を「相似拡大の掃引」とみる(苦手な人にも見通しのよいルート)。 $s + t$ の値ごとに、 $P$ がどの線分に乗るかを考える。

$s + t = 1$ ( $s, t \geq 0$ )のとき、 $P = s OA + t OB$ は線分 $AB$ 上(内分点)。 $s + t = 2$ のときは、 $OA, OB$ を $2$ 倍に伸ばした点 $A^{'}, B^{'}$ を結ぶ線分 $A^{'} B^{'}$ 上。

一般に $s + t = k$ は、三角形 $OAB$ を $O$ 中心に $k$ 倍拡大したときの辺 $A^{'} B^{'}$ 。 $k$ を $1$ から $2$ まで連続に動かすと、線分 $AB$ から $A^{'} B^{'}$ まで平行に掃引され、台形状の帯ができる。

面積は「 $2$ 倍拡大の三角形 $OA^{'} B^{'}$ ( $= 4 S$ )」から「元の三角形 $OAB$ ( $= S$ )」を除いた $3 S$ ( $S$ は $△ OAB$ の面積)。相似拡大の面積は比の2乗、という原則( $1^{2}$ から $2^{2}$ )で $(4 - 1) S = 3 S$ と一目で出る。

ポイント

$s + t = k, s, t \geq 0$ は $k A, k B$ を結ぶ線分。
$1 \leq k \leq 2$ の帯は $2$ 倍拡大の三角形から元を除いた領域。
面積は $(2^{2} - 1^{2}) S = 3 S$ 。

よくある間違い

$s + t = k$ が「 $k$ 倍拡大三角形の底辺」に対応することに気づかず、範囲を図示できない。
面積を相似比 $2$ でなく $2$ 乗( $4$ )で誤る、または帯の面積を $4 S$ とする(引き算 $4 S - S = 3 S$ )。
$s \geq 0, t \geq 0$ の条件を落とし、三角形でなく平行四辺形の帯にしてしまう。