1次結合による分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の分解は、成分比較で連立方程式にする。

$s\vec{a}+t\vec{b}=(s+t,2t)$ を $\vec{c}=(5,4)$ と見くらべる。

$y$ 成分の式は $2t=4$ で $1$ 文字だけ。連立は $1$ 文字だけの式から先に片づけると速い、と見通す。

① 成分で書く。

$$s(1,0)+t(1,2)=(s+t,2t)$$

② $\vec{c}=(5,4)$ と成分比較する。

$$\{\begin{array}{l}s+t=5\\ 2t=4\end{array}$$

③ 解く。 $y$ 成分 $2t=4$ から $t=2$。$s+t=5$ に代入して $s=3$。

$$\vec{c}=3\vec{a}+2\vec{b}$$

まとめ:$1$ 次結合の分解は成分比較。今回は $\vec{a}$ の $y$ 成分が $0$ なので、$y$ 成分の式 $2t=4$ から $t$ が一発で決まり、続いて $s$ が出る。連立が解きやすい形だ。

発展 — 一歩先へ。 $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の $(s,t)$ は、$\vec{a},\vec{b}$ を軸にとった斜交座標での $\vec{c}$ の座標。この分解が一通りに決まるのは、$\vec{a},\vec{b}$ が平行でない($1$ 次独立)からだ。

平行かどうかは $x_a{y}_b-x_b{y}_a$ で判定できる。ここでは $1\cdot 2-1\cdot 0=2\ne 0$ なので、$\vec{a},\vec{b}$ は座標軸の役をはたす。

もし $\vec{a}\parallel \vec{b}$ ならこの値が $0$ になり、分解できない、あるいは一通りに決まらない。$1$ 次独立は「座標系が組める」ための条件なのだ。

別解

別解 — 片方を消すように内積をとる(得意な人向けの視点)。 $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の $s$ だけを取り出したい。そこで、$\vec{b}$ に垂直なベクトルとの内積をとると、$t\vec{b}$ の項が消える。

$\vec{b}=(1,2)$ に垂直なベクトルは $(2,-1)$。両辺とこれの内積をとると、$\vec{b}\cdot (2,-1)=0$ だから

$$\vec{c}\cdot (2,-1)=s\vec{a}\cdot (2,-1).$$

左辺は $5\cdot 2+4\cdot (-1)=6$、右辺の $\vec{a}\cdot (2,-1)=1\cdot 2+0=2$。よって $2s=6$、$s=3$。

同じように $\vec{a}=(1,0)$ に垂直な $(0,1)$ との内積をとると、$\vec{a}$ の項が消えて $\vec{c}\cdot (0,1)=t\vec{b}\cdot (0,1)$、つまり $4=2t$、$t=2$。

成分比較で連立する本解と同じ $\vec{c}=3\vec{a}+2\vec{b}$。「消したい成分に垂直な向きで内積をとる」と、$s,t$ を $1$ つずつ取り出せる。