チェバの定理(面積比で示す)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 チェバの定理の $3$ つの比の積を、面積比に翻訳するのが急所。

分点比 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$ は、$\mathrm{D}$ を共有する2つの三角形の面積比で書ける。底辺 $\mathrm{BD},\mathrm{DC}$ が同じ直線上で高さが共通だからだ。$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{△\mathrm{ABD}}{△\mathrm{ACD}}=\frac{△\mathrm{PBD}}{△\mathrm{PCD}}$。差をとれば $\frac{△\mathrm{PAB}}{△\mathrm{PCA}}$。

$3$ つの分点比を同様に $\mathrm{P}$ を頂点とする三角形の面積比で書いて掛けると、$3$ つの面積が分子・分母に一巡して現れ、すべて約分して $1$。

① 分点比を面積比に。 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{△\mathrm{ABD}}{△\mathrm{ACD}}=\frac{△\mathrm{PBD}}{△\mathrm{PCD}}$。比が等しい $2$ 式から、分子どうし・分母どうしを引いて $$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{△\mathrm{ABD}-△\mathrm{PBD}}{△\mathrm{ACD}-△\mathrm{PCD}}=\frac{△\mathrm{PAB}}{△\mathrm{PCA}}.$$ ② 他の $2$ つも。 同様に $$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{△\mathrm{PBC}}{△\mathrm{PAB}},\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{△\mathrm{PCA}}{△\mathrm{PBC}}.$$ ③ 掛けて約分。 $3$ つを掛けると $$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{△\mathrm{PAB}}{△\mathrm{PCA}}\cdot \frac{△\mathrm{PBC}}{△\mathrm{PAB}}\cdot \frac{△\mathrm{PCA}}{△\mathrm{PBC}}=1.$$

まとめ 分点比を「$\mathrm{P}$ を頂点とする三角形の面積比」に翻訳すると、$3$ つの比を掛けたとき同じ面積が分子・分母に一巡して現れ、すべて約分して $1$。これがチェバの定理。幾何(面積比)の融合。

発展 — 一歩先へ。 チェバの定理(3直線が1点で交わる)の双子が、メネラウスの定理(1直線が3辺を横切る)。同じ $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}$ が、チェバでは $1$、メネラウスでは $-1$(符号つき)。「点で交わる」か「直線に乗る」か—射影幾何の双対性の、最も身近な現れである。

別解

別解 — メネラウスの定理と組で覚える(得意な人向けの視点)。 チェバの定理「$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$」は、$\mathrm{P}$ の重心座標 $(\alpha :\beta :\gamma )$ を使うと透ける。

$\mathrm{P}=\frac{\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{B}+\gamma \mathrm{C}}{\alpha +\beta +\gamma }$ のとき、直線 $\mathrm{AP}$ と $\mathrm{BC}$ の交点 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ を $\gamma :\beta$ に分ける。同様に $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\alpha }{\gamma }$、$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{\beta }{\alpha }$。掛けると

$$\frac{\gamma }{\beta }\cdot \frac{\alpha }{\gamma }\cdot \frac{\beta }{\alpha }=1.$$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ が分子・分母に一巡して約分される。これが「積が $1$」の正体だ。

対になるメネラウスの定理(直線が三角形を横切るとき)は、同じ形で積が $-1$(符号つき)になる。チェバは「$1$ 点で交わる」、メネラウスは「$1$ 直線に乗る」を判定する双子の定理で、重心座標で見ると両方の仕組みが一望できる。