内積を用いた垂直の証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「垂直を示せ」— ベクトルの垂直証明は内積が $0$ を言えばよい。

$$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{a}-|\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$$

(和と差の積 — $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ のベクトル版だ。)

仮定 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ より右辺は $0$。内積 $0$、よって垂直。ただし $\vec{a}+\vec{b}\ne \vec{0}$、$\vec{a}-\vec{b}\ne \vec{0}$ の断り(零ベクトルに垂直は定義されない)を添えると完全である。

① 内積を展開する。 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ のベクトル版。

$$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{a}-\vec{b}\cdot \vec{b}=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$$

(内積は交換法則 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ が成り立つので、中の $2$ 項が打ち消し合う。)

② 条件を使う。 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ より $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2$。

$$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=0$$

内積が $0$ なので $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ は垂直。

まとめ:垂直の証明は「内積 $=0$ を示す」。$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$ は $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ のベクトル版。これは「ひし形の対角線が直交する」ことの証明でもある($|\vec{a}|=|\vec{b}|$ は隣り合う辺が等しい = ひし形)。

発展 — 一歩先へ。 同じ配置で有名な定理がもうひとつ出る。$|\vec{a}|=|\vec{b}|=r$ を「円の半径」と読むと、$\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ の直交は「直径に対する円周角は直角」(タレスの定理)の証明になる — 円周上の点 $\mathrm{P}$、直径の両端 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ に対し、$\overrightarrow{\mathrm{PA}},\overrightarrow{\mathrm{PB}}$ がちょうど $\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{a}-\vec{b}$ 型になるからだ。

「図形の定理を、内積の展開で機械的に示す」— 中線定理・重心の性質・垂心の存在など、初等幾何の名定理の多くがこの手法で数行に落ちる。ベクトルは幾何の「計算機」である。

別解

この命題、絵に描くと中学校で習った定理だと分かる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を隣り合う $2$ 辺とする平行四辺形を描く。すると

• $\vec{a}+\vec{b}$ は、平行四辺形の対角線($1$ 本目)
• $\vec{a}-\vec{b}$ は、もう $1$ 本の対角線($\vec{b}$ の先端から $\vec{a}$ の先端へ)

仮定 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ は「隣り合う辺の長さが等しい」— つまりこの平行四辺形はひし形だ。

命題の主張は「ひし形の対角線は直交する」— 対角線を折り目に折るとぴったり重なる、あの見慣れた事実である。

つまり本解の内積計算は、中学幾何の定理のベクトルによる再証明だった。逆向きの読みも成り立つ: $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$ という恒等式は、「対角線が直交 ⟺ ひし形($|\vec{a}|=|\vec{b}|$)」の両方向を一度に含んでいる。展開 $1$ 行が幾何の定理と同値 — ベクトルの証明力の見本のような問題だ。