ベクトルの大きさの最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|\vec{a}+t\vec{b}|$ をそのまま最小化するのは難しい。

そこで $2$ 乗して、$t$ の $2$ 次関数とみる。平方完成すれば最小値がわかる。

大きさの最小は、$2$ 乗の最小を出してから平方根をとる。この一手を加えるだけだと見通す。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1+4=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 2=4$、$|\vec{a}{|}^2=4+1=5$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=5t^2+2\cdot 4\cdot t+5=5t^2+8t+5$$

③ 平方完成する。

$$5t^2+8t+5=5(t+\frac{4}{5}{)}^2+5-\frac{16}{5}=5(t+\frac{4}{5}{)}^2+\frac{9}{5}$$

最小値は $t=-\frac{4}{5}$ のとき $\frac{9}{5}$。これは $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ の最小値。

④ 平方根をとる。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}_{\min }=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$

まとめ:大きさの最小は「$2$ 乗の最小 → 平方根」。$|{|}^2$ が $t$ の $2$ 次関数になるので平方完成。最小値 $\frac{9}{5}$ のルート $\frac{3}{\sqrt{5}}$ を有理化して $\frac{3\sqrt{5}}{5}$。これは点から直線への最短距離にあたる。

発展 — 一歩先へ。 $\vec{a}+t\vec{b}$($t$ が動く)は、$\vec{a}$ の先端を通り $\vec{b}$ 方向にのびる直線上の点。その大きさの最小は、原点からこの直線までの最短距離にあたる。

最短を与えるのは、$\vec{a}+t\vec{b}$ が $\vec{b}$ に垂直になるとき。頂点の $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ は、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ に射影する式そのものだ。

最小値は $|\vec{a}|\sin \theta$($\theta$ は $\vec{a},\vec{b}$ のなす角)とも書ける。平方完成という代数と、垂線・射影という幾何が、同じ答えを指している。

別解

別解 — 最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}$ が $\vec{b}$ に垂直(得意な人向けの視点)。 $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ 方向の直線上を動く。原点から直線への最短は垂線のときだから、最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ に垂直になる。

垂直は内積 $0$。$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=0$ を立てる。$\vec{a}\cdot \vec{b}=4$、$|\vec{b}{|}^2=5$ より

$$\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=4+5t=0⟹t=-\frac{4}{5}.$$

このとき $\vec{b}$ の項が内積で消えるので、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ が楽に出る。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}+t\vec{b})=(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+t(\vec{a}\cdot \vec{b})=5-\frac{4}{5}\cdot 4=\frac{9}{5}.$$

よって最小値は $\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

平方完成する本解と同じ答え。「最短は垂線」と見れば、平方完成せずに最小の $t$ が出せる。