直線のベクトル方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線をベクトルで表す部品は $2$ つ — 通る点と方向。

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$$

「点 $\mathrm{A}$ から出発して、方向 $\vec{d}$ に $t$ 倍だけ進む」— $t$ が全実数を動けば、点 $\mathrm{P}$ は直線全体を掃く。

成分で書けば $\mathrm{P}=(1+3t,2+t)$。$t=1$ なら $(4,3)$ — 出発点から方向ベクトル $1$ 本分だけ進んだ地点である。

① ベクトル方程式を書く。

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}=(1,2)+t(3,1)=(1+3t,2+t)$$

② $t=1$ を代入する。

$$(1+3,2+1)=(4,3)$$

まとめ:直線は「通る $1$ 点 + 方向ベクトルの実数倍」で表せる。$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$。$t$ を動かすと点が直線上を動く。$t=1$ で方向に $1$ 歩進んだ点 $(4,3)$。媒介変数表示の基本だ。

発展 — 一歩先へ。 消去して出た $x-3y+5=0$ の係数 $(1,-3)$ は、この直線の法線ベクトル — 方向 $\vec{d}=(3,1)$ と内積をとると $3-3=0$ で確かに垂直だ。「方程式の係数 $=$ 法線、媒介変数の係数 $=$ 方向」という対応は、$2$ つの表現の橋として覚えておく価値がある。

$t$ に時刻の意味を持たせれば、これは等速直線運動の記述そのもの($t=1$ の点は「$1$ 秒後の位置」)。空間(数C後半)でも直線はまったく同じ $\vec{a}+t\vec{d}$ で書ける — 方程式による表現が次元ごとに形を変える($2$ 次元は $1$ 本、$3$ 次元は $2$ 本)のに対し、ベクトル方程式は次元を問わない強さを持つ。

別解

この媒介変数表示が、見慣れた直線の方程式と同じものであることを、$t$ を消去して確かめよう。

$$x=1+3t,y=2+t$$

$2$ 本目から $t=y-2$。$1$ 本目に代入して

$$x=1+3(y-2)⟺x-3y+5=0$$

普通の $1$ 次方程式が出てきた。通過点 $(1,2)$ を入れると $1-6+5=0$ ✓、$t=1$ の点 $(4,3)$ も $4-9+5=0$ ✓ — 同じ直線だ。

$2$ つの表し方は役割が違う。方程式 $x-3y+5=0$ は「直線上にいるかどうかの判定器」、媒介変数 $(1+3t,2+t)$ は「直線上の点を生産する機械」($t$ に値を入れるたび点が $1$ つ出る)。軌跡や交点の計算では判定器が、動く点や時刻を追う問題では生産機が便利 — $2$ つの言葉を自在に往復できることが、この単元の実力である。