点と直線の距離(ベクトル)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 垂線の足を求めなくても、点と直線の距離は出せる。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と方向ベクトル $\vec{d}$ が作る平行四辺形を考える。その面積は $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。

平行四辺形の面積 = 底辺 × 高さ。底辺を $|\vec{d}|$ とみれば、高さがそのまま距離になる、と見通す。

① 平行四辺形の面積を求める。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(3,1)$、$\vec{d}=(1,2)$。$2$ ベクトルが作る平行四辺形の面積は $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。

$$|3\cdot 2-1\cdot 1|=|6-1|=5$$

② 底辺 $|\vec{d}|$ で割る。 $|\vec{d}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

$$\text{距離}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$

まとめ:点と直線の距離は「$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と方向 $\vec{d}$ が作る平行四辺形の面積 ÷ 底辺 $|\vec{d}|$」。面積 = 底辺 × 高さ だから、高さ(= 距離)= 面積 ÷ 底辺。ベクトルの外積(成分の差)で面積が出せる。

発展 — 一歩先へ。 分子 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\vec{d}$ が作る平行四辺形の面積、分母 $|\vec{d}|$ は底辺。だから「面積 ÷ 底辺 = 高さ」で距離が出る。

同じことは、直線を方程式 $2x-y=0$ に直して、点と直線の距離公式で計算しても得られる。ベクトルの見方と座標幾何の見方は、ここで一致する。

距離は $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\sin \theta$($\theta$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\vec{d}$ のなす角)とも書ける。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の「$\vec{d}$ に垂直な成分」の大きさ、それがそのまま距離だ。

別解

別解 — 垂線の足を求めて距離を出す(苦手な人向けの手順ルート)。 距離の定義どおり、$\mathrm{P}$ から直線へ下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ をまず求め、$\mathrm{PH}$ の長さを測る。

$\mathrm{H}$ は直線上の点なので $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{d}$ と書ける。$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が $\vec{d}$ に垂直、すなわち $(k\vec{d}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})\cdot \vec{d}=0$。これは $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{d}$ に射影する式で

$$k=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{d}}{|\vec{d}{|}^2}=\frac{3\cdot 1+1\cdot 2}{1^2+2^2}=\frac{5}{5}=1.$$

よって $\mathrm{H}=1\cdot (1,2)=(1,2)$。距離は

$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|=|(1-3,2-1)|=|(-2,1)|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}.$$

面積 ÷ 底辺で出す本解と同じ $\sqrt{5}$。垂線の足 $\mathrm{H}$ を射影で求めれば、距離を直接測ることもできる。