ベクトルの大きさの最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $t$ が動くときの $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ — 展開すると $t$ の $2$ 次関数になる。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2=2t^2+6t+5$$

($\vec{a}\cdot \vec{b}=3$、$|\vec{b}{|}^2=2$、$|\vec{a}{|}^2=5$。)

下に凸の放物線だから、頂点で最小。平方完成(または頂点の公式 $t=-\frac{b}{2a}$)で $t=-\frac{3}{2}$。「ベクトルの大きさの最小 $=$ $2$ 次関数の頂点」という、数Iへの橋渡しの型だ。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1^2+1^2=2$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1=3$、$|\vec{a}{|}^2=2^2+1^2=5$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2t^2+2\cdot 3\cdot t+5=2t^2+6t+5$$

③ 平方完成して最小を求める。

$$2t^2+6t+5=2(t+\frac{3}{2}{)}^2+\frac{1}{2}$$

よって $t=-\frac{3}{2}$ で最小。

まとめ:$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は展開すると $t$ の $2$ 次関数。平方完成で最小の $t$ が出る。このとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ に垂直になる(最短距離の垂線)というのが幾何的な意味だ。

発展 — 一歩先へ。 最小を与える $-t\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$ は、$\vec{a}$ の $\vec{b}$ 方向への正射影(影)と呼ばれる重要な量。「$\vec{a}$ を $\vec{b}$ 方向成分と垂直成分に分ける」操作で、最小値 $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=\frac{1}{2}$ は垂直成分の長さの $2$ 乗にあたる。

この分解は、データの近似(最小二乗法)・物理の力の分解・大学の直交射影まで一直線につながる。「$2$ 次関数の最小」という顔で現れたこの問題の正体は、線形代数の中心概念の入り口である。

別解

この最小化には、計算より速い幾何の絵がある。

$\vec{a}+t\vec{b}$ は、$t$ を動かすと「点 $\vec{a}$ を通り、方向 $\vec{b}$ の直線」の上を動く点だ(直線のベクトル方程式そのもの)。$|\vec{a}+t\vec{b}|$ は原点からその点までの距離。

原点から直線への距離が最小になるのは、垂線の足 — つまり最小の瞬間、ベクトル $\vec{a}+t\vec{b}$ は直線の方向 $\vec{b}$ と垂直になっている。

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=0⟺\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=0⟺t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}=-\frac{3}{2}$$

展開も平方完成もなしで、$1$ 次方程式 $1$ 本。

$2$ 次関数の頂点(代数)と垂線の足(幾何)が同じ $t$ を指す — 平方完成の頂点の式 $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ が、垂直条件そのものだったという種明かしである。この垂直の目は「点と直線の距離」「正射影」へ直結する、この単元の要の視点だ。